IDZ Ryabushko 4.2 Option 7

Nr. 1. Es ist notwendig, Flächen zu konstruieren und ihren Typ für die Gleichungen zu bestimmen:

a) 4x2 + 6y2 – 24z2 = 96; á) y2 + 8z2 = 20x2.

Lassen Sie uns zunächst einige Transformationen vornehmen. Teilen Sie für Gleichung (a) beide Seiten durch 96 und erhalten Sie:

(x^2) / 6 + (y^2) / 16 - (z^2) / 4 = 1

Somit erhalten wir die Gleichung eines Ellipsoids, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt.

Auch für Gleichung (b) müssen einige Transformationen durchgeführt werden. Teilen Sie beide Seiten durch 20 und erhalten Sie:

(y^2) / 20 + (z^2) / 2 = (x^2)

Somit erhalten wir die Gleichung eines parabolischen Zylinders, dessen Basis eine entlang der x-Achse gerichtete Parabel ist und dessen Höhe 2√5 beträgt.

Nr. 2. Es ist notwendig, die Gleichung aufzuschreiben und die Art der Oberfläche zu bestimmen, die man durch Drehen dieser Linie um die angegebene Koordinatenachse erhält, und das entsprechende Bild zu zeichnen.

a) x^2 + 3z^2 = 9; Oz;

Lassen Sie uns zunächst den durch die Gleichung gegebenen Linientyp bestimmen. Für z = 0 erhalten wir x^2 = 9, das heißt, es ist eine horizontale Linie, die durch die Punkte (-3, 0, 0) und (3, 0, 0) verläuft. Bei x = 0 erhalten wir 3z^2 = 9, das heißt, dies ist eine vertikale Linie, die durch die Punkte (0, 0, -3) und (0, 0, 3) verläuft. Somit ist die Linie eine Ellipse, die in der xz-Ebene liegt.

Um eine Oberfläche zu erhalten, ist es notwendig, diese Ellipse um die Oz-Achse zu drehen. Die resultierende Oberfläche ist ein Ellipsoid, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt, dessen Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen und dessen Halbachsen gleich 3 und √3 sind.

á) x = 4; z = 6; Oy.

Lassen Sie uns zunächst den durch die Gleichung gegebenen Linientyp bestimmen. Die Gleichung x = 4 definiert eine vertikale Ebene parallel zur y-Achse, die durch den Punkt (4, 0, 0) verläuft. Die Gleichung z = 6 definiert eine horizontale Ebene parallel zur xz-Ebene, die durch den Punkt (0, 0, 6) verläuft. Somit ist die Linie ein gerades Liniensegment, das durch die Punkte (4, 0, 6) und (4, 0, -6) verläuft.

Um eine Oberfläche zu erhalten, ist es notwendig, dieses Segment um die Oy-Achse zu drehen. Die resultierende Oberfläche ist ein Zylinder, dessen Basis ein Kreis mit dem Radius 6 und dem Mittelpunkt im Punkt (4, 0, 0) ist und dessen Höhe 12 beträgt.

Nr. 3. Es ist notwendig, einen Körper zu konstruieren, der durch die angegebenen Flächen begrenzt wird:

a) y = x; y = 0; x = 1; ... ; z = 0.

Konstruieren wir zunächst die durch die Gleichungen y = x und y = 0 definierten Ebenen. Dieser Schnittpunkt dieser Ebenen ergibt eine Linie, die durch die Punkte (0, 0, 0) und (1, 1, 0) verläuft. Wir konstruieren dann die Ebenen x = 1 und z = 0, die ein Rechteck mit den Eckpunkten (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) und (1, 0, 1) bilden. . Somit erhalten wir einen durch die angegebenen Flächen begrenzten Körper, der eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und der Höhe 1 ist.

á) x^2 + y^2 + z^2 = 4; x^2 + y^2 = z^2; x ≥ 0; z ≥ 0.

Konstruieren wir zunächst die Flächen, die durch die Gleichungen x^2 + y^2 + z^2 = 4 und x^2 + y^2 = z^2 gegeben sind. Die Gleichung x^2 + y^2 + z^2 = 4 beschreibt eine Kugel mit dem Radius 2, und die Gleichung x^2 + y^2 = z^2 beschreibt einen Kegel, dessen Scheitelpunkt im Ursprung liegt und dessen Achse mit diesem zusammenfällt die z-Achse.

Um einen durch diese Flächen begrenzten Körper zu konstruieren, betrachten wir einen Bereich, der durch eine Kugel und einen Kegel sowie durch die Ebenen x = 0 und z = 0 begrenzt wird. So erhalten wir einen durch diese Flächen begrenzten Körper, der die Hälfte von a darstellt Kugel und ein halber Kegel im ersten Oktanten.

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IDZ Ryabushko 4.2 Option 7 ist eine Mathematikaufgabe, die drei verschiedene Aufgaben enthält:

1. Es ist notwendig, Oberflächen zu konstruieren und ihr Aussehen anhand der angegebenen Gleichungen zu bestimmen: a) 4x2 + 6y2 – 24z2 = 96; b) y2 + 8z2 = 20x2.

2. Es ist notwendig, die Gleichung aufzuschreiben und die Art der Oberfläche zu bestimmen, die man durch Drehen dieser Linie um die angegebene Koordinatenachse erhält, sowie eine Zeichnung anzufertigen: a) x2 + 3z2 = 9; Rotationsachse Oz; b) x = 4; z = 6; Rotationsachse Oy.

3. Es ist notwendig, einen Körper zu konstruieren, der durch die angegebenen Flächen begrenzt wird: a) y = x; y = 0; x = 1; ... ; z = 0; b) x2 + y2 + z2 = 4; x2 + y2 = z2; x ≥ 0; z ≥ 0.

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