Lösung für Aufgabe 20.5.7 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 20.5.7

Hoffentlich:

Das kinetische Potenzial eines mechanischen Systems wird durch den Ausdruck L = 16x2 + 20x bestimmt. Ausgangswerte: x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s.

Finden:

Der Wert der verallgemeinerten x-Koordinate zum Zeitpunkt t = 3 s.

Antwort:

Um die verallgemeinerte Koordinate x zu finden, muss die Euler-Lagrange-Gleichung gelöst werden:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Für dieses System:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$

Wenn wir die Ausdrücke in die Euler-Lagrange-Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

$$\frac{dx}{dt}=x$$

Wenn wir die Differentialgleichung lösen, erhalten wir:

$$x=Was^{t}$$

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen finden wir die Konstante C:

$$x|_{t=0}=0=Was^{0}$$

$$C=0$$

Somit ist die verallgemeinerte x-Koordinate zu jedem Zeitpunkt Null.

Unter den gegebenen Anfangsbedingungen bewegt sich das System mit der Geschwindigkeit Null und hat keine kinetische Energie. Der Wert der verallgemeinerten Koordinate x ändert sich im Laufe der Zeit nicht und ist immer gleich Null.

Lösung zu Aufgabe 20.5.7 aus der Sammlung von Kepe O.?.

Wir präsentieren Ihnen ein digitales Produkt – eine Lösung für Problem 20.5.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. Dies ist eine einzigartige Lösung, die Ihnen hilft, das kinetische Potenzial eines mechanischen Systems besser zu verstehen und dieses Problem problemlos zu lösen.

Produktbeschreibung

Unsere Lösung ist ein digitales Produkt, das in unserem Digital Product Store erworben werden kann. Es wird im HTML-Format präsentiert, mit schönem Design und klarer Struktur.

Bei der Lösung des Problems werden wir die zur Lösung dieses Problems verwendeten Lösungsmethoden im Detail analysieren und einen detaillierten Algorithmus bereitstellen, der Ihnen hilft, dieses Problem einfach und schnell zu lösen.

Vorteile

• Eine einzigartige Lösung für ein Problem, die Ihnen hilft, das kinetische Potenzial eines mechanischen Systems besser zu verstehen.
• Schönes HTML-Design und klare Struktur.
• Ein detaillierter Lösungsalgorithmus, der Ihnen hilft, dieses Problem einfach und schnell zu lösen.
• Ein digitaler Artikel, der in unserem Digital Item Store erworben werden kann.

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Wir präsentieren Ihnen ein digitales Produkt – eine Lösung für Problem 20.5.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. Dieses Problem hängt mit der Bestimmung des Wertes der verallgemeinerten Koordinate x des mechanischen Systems zum Zeitpunkt t = 3 s zusammen, wenn zu Beginn der Bewegung x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2 m/s gilt.

Unsere Lösung ist ein digitales Produkt, das in unserem Digital Product Store erworben werden kann. Es wird im HTML-Format präsentiert, mit schönem Design und klarer Struktur. Bei der Lösung des Problems werden wir die zur Lösung dieses Problems verwendeten Lösungsmethoden im Detail analysieren und einen detaillierten Algorithmus bereitstellen, der Ihnen hilft, dieses Problem einfach und schnell zu lösen.

Der erste Schritt zur Lösung des Problems besteht darin, die Lagrange-Gleichung 2. Art für ein gegebenes mechanisches System zu schreiben:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

Für dieses System:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$

Wenn wir die Ausdrücke in die Lagrange-Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$

Wenn wir die Differentialgleichung lösen, erhalten wir:

$$x=Was^{t}$$

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen finden wir die Konstante C:

$$x|_{t=0}=0=Was^{0}$$

$$C=0$$

Somit ist die verallgemeinerte x-Koordinate zu jedem Zeitpunkt Null. Unter den gegebenen Anfangsbedingungen bewegt sich das System mit der Geschwindigkeit Null und hat keine kinetische Energie. Der Wert der verallgemeinerten Koordinate x ändert sich im Laufe der Zeit nicht und ist immer gleich Null.

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Aufgabe 20.5.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist mit der Bestimmung des Wertes der verallgemeinerten Koordinate zum Zeitpunkt t=3 Sekunden für ein mechanisches System mit dem kinetischen Potenzial L=16x^2+20x verbunden, wobei x die verallgemeinerte Koordinate ist. Anfangsbedingungen des Problems: x|t=0=0, x'|t=0=2 m/s.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, das Prinzip der geringsten Wirkung anzuwenden, wonach die wahre Flugbahn des Systems dem Extremum der Wirkung entspricht. Die Aktion für dieses System kann als Integral der Lagrange-Funktion L(x,x',t) geschrieben werden:

S = ∫L(x, x', t)dt

wobei L(x,x',t) = T – V – kinetische bzw. potentielle Energie des Systems.

Um den Wert der verallgemeinerten Koordinate x zum Zeitpunkt t=3 Sekunden zu finden, muss die Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Funktion L(x,x',t) gelöst werden:

(d/dt)(∂L/∂x') - ∂L/∂x = 0

Nachdem wir diese Gleichung gelöst haben, erhalten wir eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die mit numerischen Methoden gelöst werden kann. Als Ergebnis der Lösung dieser Gleichung erhalten wir den Wert der verallgemeinerten Koordinate x zum Zeitpunkt t=3 Sekunden, gleich 8,81.

So lösen wir Aufgabe 20.5.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. Es ist notwendig, das Prinzip der kleinsten Wirkung anzuwenden und die Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Funktion L(x,x',t) zu lösen und dann numerische Methoden zu verwenden, um den Wert der verallgemeinerten Koordinate x zum Zeitpunkt t=3 zu ermitteln Sekunden.

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