选项 18 IDZ 2.2

第 1.18 号。问题条件：给定向量a(9;-3;1)、b(3;-15;21)、c(1;-5;7)。必要的：

a) 计算三个向量的混合积。向量 a、b 和 c 的混合乘积等于它们的混合分量，由以下公式确定：(a, b, c) = a·(b x c)，其中 x 是向量乘积的符号，· 是标量积的符号。我们计算向量乘积 b x c： b x c = (15·7 -21·(-5); 21·1 - 3·7; 3·(-5) - 15·1) = (162; -132; -12)现在我们求 a 和所得向量的标量积： a·(b x c) = 9·162 + (-3)·(-132) + 1·(-12) = 1575

b) 求矢量积的模。矢量乘积 b x c 的大小等于等于该乘积的矢量的长度。计算长度：|b x c| = √(162² + (-132)² + (-12)²) ≈ 214.97

c) 计算两个向量的标量积。两个向量 a 和 b 的标量积等于其对应坐标的乘积之和： a·b = 9·3 + (-3)·(-15) + 1·21 = 81

d) 检查两个向量是否共线或正交。如果一个非零向量是另一个向量的倍数，则两个非零向量共线。如果两个非零向量的标量积为 0，则它们是正交的。检查向量 a 和 b：a/b = (9/3; (-3)/(-15); 1/21) = (3; 0.2; 0.05) a·b = 81 这些向量既不共线也不正交。

e) 检查三个向量是否共面。如果三个向量位于同一平面内，则它们共面。一种可能的检查是计算向量的混合乘积并检查它是否为零： (a, b, c) = a·(b x c) = 1575 ≠ 0 由于混合乘积不为零，因此向量不共面。

第 2.18 号。问题条件：金字塔的顶点位于点A(5;-4;4)、B(-4;-6;5)、C(3;2;-7)、D(6;2;-) 9).

要解决这个问题，您需要使用顶点坐标找到金字塔的体积。顶点位于 V 的棱锥体积等于平行六面体体积的六分之一，平行六面体的一个面与坐标轴平行并经过 V 点，另外两个面经过相邻顶点金字塔的。

我们计算离开顶点 A 的向量的坐标： AB = (-9; -2; 1), AC = (-2; 6; -11), AD = (1; 6;-13) 现在我们找到混合向量 AB、AC 和 AD 的乘积可求出平行六面体的体积： V_par = (AB, AC, AD) = AB · (AC x AD) = (-9; -2; 1) · (-76; - 16; 54) = 2142 顶点位于 A 点的金字塔体积将等于找到的平行六面体体积的六分之一： V_pir = V_par / 6 ≈ 357

第 3.18 号。问题条件：给定施加于点 A(2;-4;7) 的三个力 P(-5;8;4)、Q(6;-7;3)、R(3;1;-5)。必要的：

a) 计算当其作用点直线移动到 B(0;7;4) 点时，这些力的合力产生的功。合力所做的功等于合力与其作用点位移的标量积： A_B = (0-2; 7-(-4); 4-7) = (-2; 11 ;-3) P + Q + R = (-5+6+3; 8-7+1; 4+3-5) = (4; 2; 2) W = (P + Q + R) · A_B = (-8; 22; -6) · (4; 2; 2) = 8

b) 计算这些力的合力相对于B点的力矩大小。力相对于该点的力矩等于该点相对于力矩中心的半径向量与合力的向量积力： B_A = -A_B = (2; -11; 3) M_B = B_A x (P + Q + R) = (2; -11; 3) x (4; 2; 2) = (-26; - 4; -50) 力矩的大小等于该向量的长度：|M_B| = √((-26)² + (-4)² + (-50)²) ≈ 51.42

该产品称为“Option 18 IDZ 2.2”，是一款用于教育用途的数字产品。该产品是一组要解决的问题，包括数学和物理问题。

产品设计采用美观的html格式，保证了易用性，提高了信息的整体感知。每个任务都被设计为一个单独的块，使您可以快速导航并找到所需的信息。

“Option 18 IDZ 2.2”对于想要提高数学和物理知识的学生和学生来说是一个绝佳的选择。该数字产品提供了有效培训和提高您在这些领域的知识的机会，这对您的学术和职业生涯非常有益。

“Option 18 IDZ 2.2”是数学和物理方面的一组任务，包括三个任务。

在第1.18题中，给出了三个向量a、b和c，必须解决几个问题：计算三个向量（a、b、c）的混合积；求向量 b 和 c 的向量积的模；计算向量 a 和 b 的标量积；检查两个向量 a 和 b 是否共线或正交；检查三个向量 a、b、c 是否共面。

在第2.18题中，给出了金字塔顶点的坐标，需要求出金字塔的体积。为此，您需要计算从顶点 A 发出的向量的坐标，然后求向量 AB、AC 和 AD 的混合乘积，以求出平行六面体的体积。顶点位于 A 点的金字塔的体积将等于找到的平行六面体体积的六分之一。

第3.18题给出了施加在A点上的三个力P、Q和R，要求计算这些力的合力在其施加点移动到B点时所做的功，以及力的大小。这些力的合力相对于 B 点的力矩。要计算功，需要找到力的合力及其作用点的位移，然后计算这些矢量的标量积。要计算力矩，需要找到B点相对于B点的半径矢量，然后计算该半径矢量与合力的矢量积。

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从提供的产品描述（选项 18 IDZ 2.2）我们可以得出结论，这是一本关于线性代数和力学的问题书。它包含三个任务。

第一个任务由五个子任务组成，与向量的各种特征（混合积、向量积的模、标量积）的计算以及它们的属性（共线性、正交性、共面性）的确定相关。为了解决这个问题，给出了三个向量a(9;-3;1)、b(3;-15;21)和c(1;-5;7)。

第二个问题涉及计算由顶点坐标 A(5;-4;4)、B(-4;-6;5)、C(3;2;-7) 和 D( 6;2;- 9)。

第三个任务涉及计算施加到点 A(2;-4;7) 并移动到点 B(0;7;4) 的力的功和力矩。为了解决该问题，给出了三个力：P(-5;8;4)、Q(6;-7;3) 和 R(3;1;-5)。

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