Opzione 18 IDZ 2.2

N. 1.18. Condizione del problema: dati i vettori a(9;-3;1), b(3;-15;21), c(1;-5;7). Necessario:

a) Calcolare il prodotto misto di tre vettori. Il prodotto misto dei vettori a, b e c è uguale alla loro componente mista ed è determinato dalla formula: (a, b, c) = a·(b x c), dove x è il segno del prodotto vettoriale, · è il segno del prodotto scalare. Calcoliamo il prodotto vettoriale b x c: b x c = (15·7 -21·(-5); 21·1 - 3·7; 3·(-5) - 15·1) = (162; -132; -12) Ora troviamo il prodotto scalare di a e il vettore risultante: a·(b x c) = 9·162 + (-3)·(-132) + 1·(-12) = 1575

b) Trovare il modulo del prodotto vettoriale. La grandezza del prodotto vettoriale b x c è uguale alla lunghezza del vettore uguale a questo prodotto. Calcola la lunghezza: |b x c| = √(162² + (-132)² + (-12)²) ≈ 214,97

c) Calcolare il prodotto scalare di due vettori. Il prodotto scalare di due vettori a e b è uguale alla somma dei prodotti delle loro coordinate corrispondenti: a·b = 9·3 + (-3)·(-15) + 1·21 = 81

d) Verifica se due vettori sono collineari o ortogonali. Due vettori diversi da zero sono collineari se uno è multiplo dell'altro. Due vettori diversi da zero sono ortogonali se il loro prodotto scalare è 0. Controlla i vettori a e b: a/b = (9/3; (-3)/(-15); 1/21) = (3; 0,2; 0.05) a·b = 81 I vettori non sono né collineari né ortogonali.

e) Verificare se i tre vettori sono complanari. Tre vettori sono complanari se giacciono sullo stesso piano. Un possibile controllo è calcolare il prodotto misto dei vettori e verificare se è zero: (a, b, c) = a·(b x c) = 1575 ≠ 0 Poiché il prodotto misto non è zero, i vettori non sono complanari.

N. 2.18. Condizione del problema: i vertici della piramide si trovano nei punti A(5;-4;4), B(-4;-6;5), C(3;2;-7), D(6;2;- 9).

Per risolvere il problema, devi trovare il volume della piramide utilizzando le coordinate dei vertici. Il volume di una piramide con vertice nel punto V è pari a un sesto del volume di un parallelepipedo, una delle cui facce è parallela all'asse delle coordinate e passa per il punto V, e le altre due facce passano per i vertici adiacenti della piramide.

Calcoliamo le coordinate dei vettori che escono dal vertice A: AB = (-9; -2; 1), AC = (-2; 6; -11), AD = (1; 6;-13) Troviamo ora il misto prodotto dei vettori AB, AC e AD per trovare il volume del parallelepipedo: V_par = (AB, AC, AD) = AB · (AC x AD) = (-9; -2; 1) · (-76; - 16; 54) = 2142 Il volume della piramide con vertice nel punto A sarà pari a un sesto del volume del parallelepipedo trovato: V_pir = V_par / 6 ≈ 357

N. 3.18. Condizione del problema: sono date tre forze P(-5;8;4), Q(6;-7;3), R(3;1;-5) applicate al punto A(2;-4;7). Necessario:

a) Calcolare il lavoro prodotto dalla risultante di queste forze quando il punto della sua applicazione, muovendosi rettilineamente, si sposta nel punto B(0;7;4). Il lavoro compiuto dalla forza risultante è pari al prodotto scalare tra la risultante e lo spostamento del punto di applicazione: A_B = (0-2; 7-(-4); 4-7) = (-2; 11 ; -3) P + Q + R = (-5+6+3; 8-7+1; 4+3-5) = (4; 2; 2) W = (P + Q + R) · A_B = (-8; 22; -6) · (4; 2; 2) = 8

b) Calcolare l'entità del momento della risultante di queste forze rispetto al punto B. Il momento della forza rispetto al punto è uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore del punto rispetto al centro del momento per la risultante di forze: B_A = -A_B = (2; -11; 3) M_B = B_A x (P + Q + R) = (2; -11; 3) x (4; 2; 2) = (-26; - 4; -50) La grandezza del momento è uguale alla lunghezza di questo vettore: |M_B| = √((-26)² + (-4)² + (-50)²) ≈ 51,42

Questo prodotto, chiamato "Opzione 18 IDZ 2.2" è un prodotto digitale destinato all'uso didattico. Questo prodotto è un insieme di problemi da risolvere, inclusi problemi di matematica e fisica.

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"Opzione 18 IDZ 2.2" è un insieme di compiti di matematica e fisica, inclusi tre compiti.

Nel problema n. 1.18 sono dati tre vettori a, bec e devono essere risolti diversi problemi: calcolare il prodotto misto di tre vettori (a, b, c); trovare il modulo del prodotto vettoriale dei vettori b e c; calcolare il prodotto scalare dei vettori aeb; controlla se due vettori aeb sono collineari o ortogonali; controlla se tre vettori a, b e c sono complanari.

Nel problema n. 2.18 vengono fornite le coordinate dei vertici della piramide ed è necessario trovare il volume della piramide. Per fare ciò, devi calcolare le coordinate dei vettori che partono dal vertice A, quindi trovare il prodotto misto dei vettori AB, AC e AD per trovare il volume del parallelepipedo. Il volume della piramide con vertice nel punto A sarà pari a un sesto del volume del parallelepipedo trovato.

Nel problema n. 3.18 vengono date tre forze P, Q e R applicate al punto A, ed è necessario calcolare il lavoro svolto dalla risultante di queste forze quando il punto della sua applicazione si sposta al punto B, nonché l'entità di il momento della risultante di queste forze rispetto al punto B. Per calcolare il lavoro, è necessario trovare la risultante delle forze e lo spostamento del punto della sua applicazione, quindi calcolare il prodotto scalare di questi vettori. Per calcolare il momento, è necessario trovare il raggio vettore del punto B rispetto al punto B, quindi calcolare il prodotto vettoriale di questo raggio vettore e la forza risultante.

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Dalla descrizione del prodotto fornita (opzione 18 IDZ 2.2) possiamo concludere che si tratta di un libro di problemi di algebra lineare e meccanica. Contiene tre compiti.

Il primo compito è composto da cinque sottocompiti ed è associato al calcolo di varie caratteristiche dei vettori (prodotto misto, modulo del prodotto vettoriale, prodotto scalare) e alla determinazione delle loro proprietà (collinearità, ortogonalità, complanarità). Per risolvere il problema, sono dati tre vettori a(9;-3;1), b(3;-15;21) e c(1;-5;7).

Il secondo problema riguarda il calcolo del volume di una piramide dato dalle coordinate dei suoi vertici A(5;-4;4), B(-4;-6;5), C(3;2;-7) e D( 6;2;-9).

Il terzo compito prevede il calcolo del lavoro e del momento delle forze applicate al punto A(2;-4;7) e spostate al punto B(0;7;4). Per risolvere il problema sono date tre forze: P(-5;8;4), Q(6;-7;3) e R(3;1;-5).

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