Option 18IDZ 2.2

N° 1.18. Condition problématique : vecteurs donnés a(9;-3;1), b(3;-15;21), c(1;-5;7). Nécessaire:

a) Calculez le produit mixte de trois vecteurs. Le produit mixte des vecteurs a, b et c est égal à leur composante mixte et est déterminé par la formule : (a, b, c) = a·(b x c), où x est le signe du produit vectoriel, · est le signe du produit scalaire. On calcule le produit vectoriel b x c : b x c = (15·7 -21·(-5) ; 21·1 - 3.7 ; 3·(-5) - 15·1) = (162 ; -132 ; -12) Nous trouvons maintenant le produit scalaire de a et le vecteur résultant : a·(b x c) = 9·162 + (-3)·(-132) + 1·(-12) = 1575

b) Trouvez le module du produit vectoriel. La grandeur du produit vectoriel b x c est égale à la longueur du vecteur égal à ce produit. Calculez la longueur : |b x c| = √(162² + (-132)² + (-12)²) ≈ 214,97

c) Calculez le produit scalaire de deux vecteurs. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est égal à la somme des produits de leurs coordonnées correspondantes : a·b = 9·3 + (-3)·(-15) + 1·21 = 81

d) Vérifiez si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l’un est multiple de l’autre. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leur produit scalaire est 0. Recherchez les vecteurs a et b : a/b = (9/3 ; (-3)/(-15 ); 1/21) = (3 ; 0,2 ; 0,05) a·b = 81 Les vecteurs ne sont ni colinéaires ni orthogonaux.

e) Vérifiez si les trois vecteurs sont coplanaires. Trois vecteurs sont coplanaires s’ils se trouvent dans le même plan. Une vérification possible consiste à calculer le produit mixte des vecteurs et à vérifier s'il est nul : (a, b, c) = a·(b x c) = 1575 ≠ 0 Puisque le produit mixte n'est pas nul, les vecteurs ne sont pas coplanaires.

N° 2.18. Condition problématique : les sommets de la pyramide sont situés aux points A(5;-4;4), B(-4;-6;5), C(3;2;-7), D(6;2;- 9).

Pour résoudre le problème, vous devez trouver le volume de la pyramide en utilisant les coordonnées des sommets. Le volume d'une pyramide dont le sommet est au point V est égal au sixième du volume d'un parallélépipède dont l'une des faces est parallèle à l'axe des coordonnées et passe par le point V, et les deux autres faces passent par les sommets adjacents de la pyramide.

On calcule les coordonnées des vecteurs sortant du sommet A : AB = (-9 ; -2 ; 1), AC = (-2 ; 6 ; -11), AD = (1 ; 6 ; -13) On trouve maintenant le mixte produit des vecteurs AB, AC et AD pour trouver le volume du parallélépipède : V_par = (AB, AC, AD) = AB · (AC x AD) = (-9 ; -2 ; 1) · (-76 ; - 16; 54) = 2142 Le volume de la pyramide dont le sommet est au point A sera égal au sixième du volume du parallélépipède trouvé : V_pir = V_par / 6 ≈ 357

N° 3.18. Condition problématique : sont données trois forces P(-5;8;4), Q(6;-7;3), R(3;1;-5) appliquées au point A(2;-4;7). Nécessaire:

a) Calculer le travail produit par la résultante de ces forces lorsque le point de son application, se déplaçant rectilignement, se déplace vers le point B(0;7;4). Le travail effectué par la force résultante est égal au produit scalaire de la résultante et du déplacement du point de son application : A_B = (0-2 ; 7-(-4) ; 4-7) = (-2 ; 11 ; -3) P + Q + R = (-5+6+3 ; 8-7+1 ; 4+3-5) = (4 ; 2 ; 2) W = (P + Q + R) · A_B = (-8 ; 22 ; -6) · (4 ; 2 ; 2) = 8

b) Calculer la grandeur du moment de la résultante de ces forces par rapport au point B. Le moment de force par rapport au point est égal au produit vectoriel du rayon vecteur du point par rapport au centre du moment par la résultante de forces : B_A = -A_B = (2 ; -11 ; 3) M_B = B_A x (P + Q + R) = (2 ; -11 ; 3) x (4 ; 2 ; 2) = (-26 ; - 4; -50) La norme du moment est égale à la longueur de ce vecteur : |M_B| = √((-26)² + (-4)² + (-50)²) ≈ 51,42

Ce produit, appelé « Option 18 IDZ 2.2 », est un produit numérique destiné à un usage pédagogique. Ce produit est un ensemble de problèmes à résoudre, notamment des problèmes de mathématiques et de physique.

La conception du produit est réalisée dans un magnifique format HTML, ce qui garantit une facilité d'utilisation et améliore la perception globale de l'information. Chaque tâche est conçue comme un bloc distinct, ce qui vous permet de naviguer rapidement et de trouver les informations dont vous avez besoin.

"Option 18 IDZ 2.2" est un excellent choix pour les étudiants et les étudiants qui souhaitent améliorer leurs connaissances en mathématiques et en physique. Ce produit numérique offre l’opportunité de vous former et d’améliorer efficacement vos connaissances dans ces domaines, ce qui peut être très bénéfique pour votre parcours académique et professionnel.

"Option 18 IDZ 2.2" est un ensemble de tâches en mathématiques et en physique, comprenant trois tâches.

Dans le problème n°1.18, trois vecteurs a, b et c sont donnés, et plusieurs problèmes doivent être résolus : calculer le produit mixte de trois vecteurs (a, b, c) ; trouver le module du produit vectoriel des vecteurs b et c ; calculer le produit scalaire des vecteurs a et b ; vérifier si deux vecteurs a et b sont colinéaires ou orthogonaux ; vérifiez si trois vecteurs a, b et c sont coplanaires.

Dans le problème n°2.18, les coordonnées des sommets de la pyramide sont données, et vous devez trouver le volume de la pyramide. Pour ce faire, il faut calculer les coordonnées des vecteurs émanant du sommet A, puis trouver le produit mixte des vecteurs AB, AC et AD pour trouver le volume du parallélépipède. Le volume de la pyramide dont le sommet est au point A sera égal au sixième du volume du parallélépipède trouvé.

Le problème n° 3.18 reçoit trois forces P, Q et R appliquées au point A, et il est nécessaire de calculer le travail effectué par la résultante de ces forces lorsque le point de son application se déplace vers le point B, ainsi que l'amplitude de le moment de la résultante de ces forces par rapport au point B. Pour calculer le travail, il faut trouver la résultante des forces et le déplacement du point de son application, puis calculer le produit scalaire de ces vecteurs. Pour calculer le moment, vous devez trouver le rayon vecteur du point B par rapport au point B, puis calculer le produit vectoriel de ce rayon vecteur et la force résultante.

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D'après la description du produit fournie (option 18 IDZ 2.2), nous pouvons conclure qu'il s'agit d'un livre de problèmes sur l'algèbre linéaire et la mécanique. Il contient trois tâches.

La première tâche se compose de cinq sous-tâches et est associée au calcul de diverses caractéristiques des vecteurs (produit mixte, module du produit vectoriel, produit scalaire) et à la détermination de leurs propriétés (colinéarité, orthogonalité, coplanarité). Pour résoudre le problème, trois vecteurs a(9;-3;1), b(3;-15;21) et c(1;-5;7) sont donnés.

Le deuxième problème consiste à calculer le volume d'une pyramide donné par les coordonnées de ses sommets A(5;-4;4), B(-4;-6;5), C(3;2;-7) et D( 6;2;-9).

La troisième tâche consiste à calculer le travail et le moment des forces appliqués au point A(2;-4;7) et déplacés vers le point B(0;7;4). Pour résoudre le problème, trois forces sont données : P(-5;8;4), Q(6;-7;3) et R(3;1;-5).

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