Επιλογή 18 IDZ 2.2

Νο. 1.18. Συνθήκη προβλήματος: δίνονται διανύσματα a(9;-3;1), b(3;-15;21), c(1;-5;7). Απαραίτητη:

α) Να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. Το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων a, b και c είναι ίσο με το μικτό συστατικό τους και προσδιορίζεται από τον τύπο: (a, b, c) = a·(b x c), όπου x είναι το πρόσημο του γινομένου του διανύσματος, · είναι το σημάδι του βαθμωτού προϊόντος. Υπολογίζουμε το διανυσματικό γινόμενο b x c: b x c = (15·7 -21·(-5); 21·1 - 3·7· 3·(-5) - 15·1) = (162; -132; -12) Τώρα βρίσκουμε το κλιμακωτό γινόμενο του a και του διανύσματος που προκύπτει: a·(b x c) = 9·162 + (-3)·(-132) + 1·(-12) = 1575

β) Να βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου. Το μέγεθος του διανυσματικού γινομένου b x c είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος ίσο με αυτό το γινόμενο. Υπολογίστε το μήκος: |b x c| = √(162² + (-132)² + (-12)²) ≈ 214,97

γ) Να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους: a·b = 9·3 + (-3)·(-15) + 1·21 = 81

δ) Ελέγξτε εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια. Δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι συγγραμμικά αν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι ορθογώνια εάν το βαθμωτό γινόμενο τους είναι 0. Ελέγξτε για διανύσματα a και b: a/b = (9/3; (-3)/(-15), 1/21) = (3; 0,2; 0,05) a·b = 81 Τα διανύσματα δεν είναι ούτε συγγραμμικά ούτε ορθογώνια.

ε) Ελέγξτε αν τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα. Τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ένας πιθανός έλεγχος είναι να υπολογίσουμε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων και να ελέγξουμε αν είναι μηδέν: (a, b, c) = a·(b x c) = 1575 ≠ 0 Εφόσον το μικτό γινόμενο δεν είναι μηδέν, τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.

Νο. 2.18. Συνθήκη προβλήματος: οι κορυφές της πυραμίδας βρίσκονται στα σημεία A(5;-4;4), B(-4;-6;5), C(3;2;-7), D(6;2;- 9).

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κορυφών. Ο όγκος μιας πυραμίδας με την κορυφή της στο σημείο V είναι ίσος με το ένα έκτο του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου, του οποίου μια όψη είναι παράλληλη με τον άξονα συντεταγμένων και διέρχεται από το σημείο V και οι άλλες δύο όψεις διέρχονται από τις γειτονικές κορυφές της πυραμίδας.

Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων που εξέρχονται από την κορυφή Α: AB = (-9; -2; 1), AC = (-2; 6; -11), AD = (1; 6;-13) Τώρα βρίσκουμε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων AB, AC και AD για να βρεθεί ο όγκος του παραλληλεπίπεδου: V_par = (AB, AC, AD) = AB · (AC x AD) = (-9; -2; 1) · (-76; - 16; 54) = 2142 Ο όγκος της πυραμίδας με την κορυφή στο σημείο Α θα είναι ίσος με το ένα έκτο του όγκου του παραλληλεπίπεδου που βρέθηκε: V_pir = V_par / 6 ≈ 357

Νο. 3.18. Συνθήκη προβλήματος: δίνονται τρεις δυνάμεις P(-5;8;4), Q(6;-7;3), R(3;1;-5) που εφαρμόζονται στο σημείο A(2;-4;7). Απαραίτητη:

α) Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από το αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων όταν το σημείο εφαρμογής του, κινούμενο ευθύγραμμα, μετακινηθεί στο σημείο Β(0;7;4). Το έργο που γίνεται από την προκύπτουσα δύναμη είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο του προκύπτοντος και τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής του: A_B = (0-2; 7-(-4); 4-7) = (-2; 11 ; -3) P + Q + R = (-5+6+3; 8-7+1; 4+3-5) = (4; 2; 2) W = (P + Q + R) · A_B = (-8; 22; -6) · (4; 2; 2) = 8

β) Υπολογίστε το μέγεθος της ροπής που προκύπτει από αυτές τις δυνάμεις σε σχέση με το σημείο Β. Η ροπή δύναμης σε σχέση με το σημείο είναι ίση με το διανυσματικό γινόμενο της ακτίνας του διανύσματος του σημείου σε σχέση με το κέντρο της ροπής από το προκύπτον των δυνάμεων: B_A = -A_B = (2; -11; 3) M_B = B_A x (P + Q + R) = (2; -11; 3) x (4; 2; 2) = (-26; - 4; -50) Το μέγεθος της ροπής είναι ίσο με το μήκος αυτού του διανύσματος: |M_B| = √((-26)² + (-4)² + (-50)²) ≈ 51,42

Αυτό το προϊόν, που ονομάζεται "Option 18 IDZ 2.2" είναι ένα ψηφιακό προϊόν που προορίζεται για εκπαιδευτική χρήση. Αυτό το προϊόν είναι ένα σύνολο προβλημάτων προς επίλυση, συμπεριλαμβανομένων προβλημάτων στα μαθηματικά και τη φυσική.

Ο σχεδιασμός του προϊόντος είναι κατασκευασμένος σε μια όμορφη μορφή html, η οποία εξασφαλίζει ευκολία στη χρήση και βελτιώνει τη συνολική αντίληψη των πληροφοριών. Κάθε εργασία έχει σχεδιαστεί ως ξεχωριστό μπλοκ, το οποίο σας επιτρέπει να πλοηγηθείτε γρήγορα και να βρείτε τις πληροφορίες που χρειάζεστε.

Το "Option 18 IDZ 2.2" είναι μια εξαιρετική επιλογή για μαθητές και μαθητές που θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά και τη φυσική. Αυτό το ψηφιακό προϊόν παρέχει την ευκαιρία να εκπαιδεύσετε αποτελεσματικά και να βελτιώσετε τις γνώσεις σας σε αυτούς τους τομείς, κάτι που μπορεί να είναι πολύ επωφελές για την ακαδημαϊκή και επαγγελματική σας σταδιοδρομία.

Η "Επιλογή 18 IDZ 2.2" είναι ένα σύνολο εργασιών στα μαθηματικά και τη φυσική, που περιλαμβάνει τρεις εργασίες.

Στο πρόβλημα 1.18 δίνονται τρία διανύσματα a, b και c και πρέπει να λυθούν αρκετά προβλήματα: να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων (a, b, c). Να βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων b και c. Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b. Ελέγξτε εάν δύο διανύσματα a και b είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια. ελέγξτε εάν τρία διανύσματα a, b και c είναι ομοεπίπεδα.

Στο πρόβλημα 2.18 δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας και πρέπει να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων που προέρχονται από την κορυφή Α και στη συνέχεια να βρείτε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων AB, AC και AD για να βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου. Ο όγκος της πυραμίδας με την κορυφή της στο σημείο Α θα είναι ίσος με το ένα έκτο του όγκου του παραλληλεπίπεδου που βρέθηκε.

Στο πρόβλημα Νο. 3.18 δίνονται τρεις δυνάμεις P, Q και R που εφαρμόζονται στο σημείο Α, και απαιτείται να υπολογιστεί το έργο που γίνεται από το αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων όταν το σημείο εφαρμογής του μετακινείται στο σημείο Β, καθώς και το μέγεθος του η ροπή της συνισταμένης αυτών των δυνάμεων σε σχέση με το σημείο Β. Για τον υπολογισμό του έργου, είναι απαραίτητο να βρεθεί το αποτέλεσμα των δυνάμεων και η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής του και στη συνέχεια να υπολογιστεί το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων. Για να υπολογίσετε τη στιγμή, πρέπει να βρείτε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Β σε σχέση με το σημείο Β και στη συνέχεια να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο αυτού του διανύσματος ακτίνας και τη δύναμη που προκύπτει.

***

Από την παρεχόμενη περιγραφή του προϊόντος (επιλογή 18 IDZ 2.2) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πρόκειται για ένα βιβλίο προβλημάτων για τη γραμμική άλγεβρα και τη μηχανική. Περιλαμβάνει τρεις εργασίες.

Η πρώτη εργασία αποτελείται από πέντε υποεργασίες και σχετίζεται με τον υπολογισμό των διαφόρων χαρακτηριστικών των διανυσμάτων (μικτό γινόμενο, συντελεστή του γινομένου του διανύσματος, κλιμακωτό γινόμενο) και τον προσδιορισμό των ιδιοτήτων τους (συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, συνεπίπεδο). Για την επίλυση του προβλήματος δίνονται τρία διανύσματα a(9;-3;1), b(3;-15;21) και c(1;-5;7).

Το δεύτερο πρόβλημα περιλαμβάνει τον υπολογισμό του όγκου μιας πυραμίδας που δίνεται από τις συντεταγμένες των κορυφών της A(5;-4;4), B(-4;-6;5), C(3;2;-7) και D( 6;2;-9).

Η τρίτη εργασία περιλαμβάνει τον υπολογισμό του έργου και της ροπής των δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σημείο A(2;-4;7) και μετακινούνται στο σημείο B(0;7;4). Για την επίλυση του προβλήματος δίνονται τρεις δυνάμεις: P(-5;8;4), Q(6;-7;3) και R(3;1;-5).

***

1. Εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν! Όλα τα υλικά είναι υψηλών προδιαγραφών και είναι εύκολα προσβάσιμα.
2. Παρέλαβα το ψηφιακό προϊόν πολύ γρήγορα και χωρίς κανένα πρόβλημα.
3. Η ποιότητα αυτού του ψηφιακού προϊόντος ξεπέρασε τις προσδοκίες μου.
4. Πήρα πολλές χρήσιμες πληροφορίες από αυτό το ψηφιακό προϊόν.
5. Αυτό το ψηφιακό προϊόν παρουσιάζεται σε βολική και κατανοητή μορφή.
6. Βρήκα αυτό το ψηφιακό προϊόν πολύ χρήσιμο για τη δουλειά μου.
7. Δεν θα δίσταζα να προτείνω αυτό το ψηφιακό προϊόν σε φίλους και συναδέλφους μου.
8. Αυτό το ψηφιακό προϊόν προσφέρει εξαιρετική σχέση ποιότητας-τιμής.
9. Είμαι ευχαριστημένος με την αγορά του ψηφιακού προϊόντος και θα το συνιστούσα σε όποιον αναζητά ποιοτικό υλικό.
10. Αυτό το ψηφιακό προϊόν με βοήθησε να λύσω τα προβλήματά μου και να πετύχω τους στόχους μου.

Ιδιαιτερότητες:

Ένα πολύ βολικό και πρακτικό ψηφιακό προϊόν που διευκολύνει την εκτέλεση των απαραίτητων εργασιών.

Είναι γρήγορη και εύκολη η πρόσβαση σε ένα ψηφιακό προϊόν, το οποίο εξοικονομεί πολύ χρόνο.

Εξαιρετικής ποιότητας ψηφιακό προϊόν, το οποίο είναι απόλυτα συνεπές με την περιγραφή.

Εύκολο στη χρήση ψηφιακό προϊόν ακόμα και για αρχάριους.

Το ψηφιακό προϊόν είναι φιλικό προς το περιβάλλον και δεν επιβαρύνει το περιβάλλον.

Δυνατότητα γρήγορης λήψης ενημερώσεων και προσθηκών στο ψηφιακό προϊόν.

Μια μεγάλη γκάμα ψηφιακών προϊόντων που σας επιτρέπουν να βρείτε την καλύτερη λύση για οποιαδήποτε εργασία.