オプション 18 IDZ 2.2

1.18号。問題の条件: 与えられたベクトル a(9;-3;1)、b(3;-15;21)、c(1;-5;7)。必要：

a) 3 つのベクトルの混合積を計算します。ベクトル a、b、および c の混合積は、それらの混合成分に等しく、式: (a, b, c) = a・(b x c) によって決定されます。ここで、x はベクトル積の符号、· はベクトル積の符号です。スカラー積の符号。ベクトル積 b x c を計算します: b x c = (15・7 -21・(-5); 21・1 - 3・7; 3・(-5) - 15・1) = (162; -132; -12)ここで、a とその結果のベクトルのスカラー積を求めます: a・(b x c) = 9・162 + (-3)・(-132) + 1・(-12) = 1575

b) ベクトル積の係数を求めます。ベクトル積 b x c の大きさは、この積に等しいベクトルの長さに等しくなります。長さを計算します: |b x c| = √(162² + (-132)² + (-12)²) ≈ 214.97

c) 2 つのベクトルの内積を計算します。 2 つのベクトル a と b のスカラー積は、対応する座標の積の合計に等しくなります: a・b = 9・3 + (-3)・(-15) + 1・21 = 81

d) 2 つのベクトルが同一線上にあるか直交しているかを確認します。 2 つの非ゼロ ベクトルは、一方が他方の倍数である場合、同一線上にあります。 2 つの非ゼロ ベクトルは、スカラー積が 0 の場合に直交します。ベクトル a と b を確認します: a/b = (9/3; (-3)/(-15); 1/21) = (3; 0.2; 0.05) a・b = 81 ベクトルは同一直線上でも直交でもありません。

e) 3 つのベクトルが同一平面上にあるかどうかを確認します。 3 つのベクトルが同じ平面内にある場合、それらのベクトルは同一平面上にあります。考えられるチェックの 1 つは、ベクトルの混合積を計算し、それがゼロであるかどうかをチェックすることです: (a, b, c) = a・(b x c) = 1575 ≠ 0 混合積はゼロではないため、ベクトルは同一平面上にありません。

2.18号。問題の条件: ピラミッドの頂点は点 A(5;-4;4)、B(-4;-6;5)、C(3;2;-7)、D(6;2;-) にあります。 9)。

この問題を解決するには、頂点の座標を使用してピラミッドの体積を見つける必要があります。点 V を頂点とするピラミッドの体積は、平行六面体の体積の 6 分の 1 に等しく、その面の 1 つは座標軸に平行で点 V を通過し、他の 2 つの面は隣接する頂点を通過します。ピラミッドの。

頂点 A から離れるベクトルの座標を計算します: AB = (-9; -2; 1)、AC = (-2; 6; -11)、AD = (1; 6;-13) ここで、混合されたベクトル AB、AC、AD の積を求めて直方体の体積を求めます: V_par = (AB, AC, AD) = AB · (AC x AD) = (-9; -2; 1) · (-76; - 16; 54) = 2142 点 A に頂点を持つピラミッドの体積は、見つかった直方体の体積の 6 分の 1 に等しくなります: V_pir = V_par / 6 ≈ 357

3.18号。問題の条件: 点 A(2;-4;7) に適用される 3 つの力 P(-5;8;4)、Q(6;-7;3)、R(3;1;-5) が与えられます。必要：

a) 直線的に移動する力の作用点が点 B(0;7;4) に移動するときに、これらの力の合力によって生成される仕事を計算します。合力によって行われる仕事は、合力とその作用点の変位のスカラー積に等しい: A_B = (0-2; 7-(-4); 4-7) = (-2; 11 ; -3) P + Q + R = (-5+6+3; 8-7+1; 4+3-5) = (4; 2; 2) W = (P + Q + R) · A_B = (-8; 22; -6) · (4; 2; 2) = 8

b) 点 B を基準としたこれらの力の合力モーメントの大きさを計算します。点 B を基準とした力のモーメントは、合力によるモーメントの中心を基準とした点の半径ベクトルのベクトル積に等しくなります。力の: B_A = -A_B = (2; -11; 3) M_B = B_A x (P + Q + R) = (2; -11; 3) x (4; 2; 2) = (-26; - 4; -50) モーメントの大きさは、このベクトルの長さに等しい: |M_B| = √((-26)² + (-4)² + (-50)²) ≈ 51.42

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「オプション 18 IDZ 2.2」は、3 つのタスクを含む数学と物理学のタスクのセットです。

問題番号 1.18 では、3 つのベクトル a、b、c が与えられており、いくつかの問題を解決する必要があります。3 つのベクトル (a、b、c) の混合積を計算します。ベクトル b とベクトル c のベクトル積の係数を求めます。ベクトル a と b のスカラー積を計算します。 2 つのベクトル a と b が同一線上にあるか直交しているかを確認します。 3 つのベクトル a、b、c が同一平面上にあるかどうかを確認します。

問題 No.2.18 では、ピラミッドの頂点の座標が与えられ、ピラミッドの体積を求める必要があります。これを行うには、頂点 A から出るベクトルの座標を計算し、ベクトル AB、AC、AD の混合積を求めて平行六面体の体積を求める必要があります。点 A を頂点とするピラミッドの体積は、見つかった直方体の体積の 6 分の 1 に等しくなります。

問題 No.3.18 は、点 A に加わる 3 つの力 P、Q、R を与え、その作用点が点 B に移動したときにこれらの力の合力によって働く仕事とその大きさを計算する問題です。仕事を計算するには、力の合力とその作用点の変位を求め、これらのベクトルのスカラー積を計算する必要があります。モーメントを計算するには、点 B を基準とした点 B の半径ベクトルを見つけ、この半径ベクトルと合力のベクトル積を計算する必要があります。

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提供されている製品説明 (オプション 18 IDZ 2.2) から、これは線形代数と力学に関する問題集であると結論付けることができます。これには 3 つのタスクが含まれています。

最初のタスクは 5 つのサブタスクで構成され、ベクトルのさまざまな特性 (混合積、ベクトル積の係数、スカラー積) の計算と、それらの特性 (共線性、直交性、共平面性) の決定に関連付けられています。この問題を解くために、3 つのベクトル a(9;-3;1)、b(3;-15;21)、および c(1;-5;7) が与えられます。

2 番目の問題には、頂点の座標 A(5;-4;4)、B(-4;-6;5)、C(3;2;-7)、および D( 6;2;-9)。

3 番目のタスクには、点 A(2;-4;7) に加えて点 B(0;7;4) に移動した力の仕事とモーメントを計算することが含まれます。この問題を解くために、P(-5;8;4)、Q(6;-7;3)、および R(3;1;-5) の 3 つの力が与えられます。

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