IDZ Ryabushko 3.2 选项 12

1 对于顶点为 A(-4;2)、B(8;-6)、C(2;6) 的三角形 ΔABC，需要求： a) 边 AB 的方程； b) 高度方程CH； c) 中值AM方程； d) 中线AM与高度CH的交点N； e) 穿过顶点C并平行于边AB的直线方程； e) C点到AB线的距离。

a) AB 边方程：要求 AB 边方程，需要计算出向量 AB 的坐标，然后用它来构造经过 A 和 B 的直线的方程。向量 AB 的坐标：（ 8-(-4);-6-2) = (12;-8) 通过A、B的直线方程：y-2 = (-8/12)(x-(-4))，即即，y = (-2/3)x + (2/3)。

b) 高度方程 CH：高度 CH 垂直于边 AB 并经过顶点 C。因此，可以使用点 C 的坐标和垂直于 AB 的向量找到高度方程（在本例中为向量 (- 8,-12)) 。穿过C并垂直于AB的直线方程：-12(x-2) + (-8)(y-6) = 0，即12x + 8y - 96 = 0。

c) 中位AM 方程： 中位AM 是连接顶点A 和边BC 中点的线段。求边 BC 中点的坐标： BC 中点坐标： ((8+2)/2;(-6+6)/2) = (5;0) 通过 A 的直线方程(5;0)：y-2 = (0-2/5)(x-(-4))，即 y = (-2/5)x + (6/5)。

d) 中值AM和高度CH的交点N：为了找到点N，需要求解由中值AM方程和高度CH方程组成的方程组。求解系统后，我们得到交点 N(1;-2)。

e) 穿过顶点C且平行于边AB的直线方程： 平行于边AB且穿过C的直线与AB具有相同的方向向量。这样，利用C点的坐标和方向向量AB就可以求出直线的方程。穿过C并平行于AB的直线方程为：y-6 = (-2/3)(x-2)，即y = (-2/3)x + (14/3)。

e) C 点到AB 线的距离：C 点到AB 线的距离等于向量AC 在向量AB 上的投影长度除以向量AB 的长度。向量AB的长度：√((8-(-4))^2+(-6-2)^2) = √(144+64) = √208。矢量 AC 到矢量 AB 的投影：|AC|cos(θ)，其中 θ 是矢量 AC 和 AB 之间的角度。余弦(θ) = ((-4-2)(8-2)+(2-6)(-6+2))/|AC||AB| = (-36-18)/√208*10 = -3/√208。因此，点 C 到线 AB 的距离等于 |AC|cos(θ)/√208 = 3√13/13。

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关于第二个问题，要求三角形另外两条边的方程，可以利用三角形的性质和方程组。

a) AB 边的方程已经给出：4x + y = 12。 b) 高度方程BH经过顶点B并垂直于边AB。这意味着它的方程可以写成 y - (-6) = (4/5)(x - 8)。变换，我们得到 y = (4/5)x - 22/5。 c) 中线 AM 也经过顶点 B 和边 AC 的中点。求AC边中点M的坐标：((-4+2)/2, (2+6)/2) = (-1, 4)。中值 AM 的方程可写为 y - (-6) = (-4/5)(x - 8)。变换，我们得到 y = (-4/5)x + 26/5。 d) 点N是中线AM和高度BH的交点。为了找到它，我们求解一个由中值 AM 和高度 BH 方程组成的方程组。让我们将中位数和高度的方程代入系统中，并使其成为方便的形式：

x + y = 6 4x - 5y = -2

求解系统后，我们得到点 N 的坐标：x = 2, y = 4。因此，点 N 的坐标为 (2, 4)。 e) 知道B点和C点的坐标就可以求出BC边的方程。我们来求一下：

B(8, -6) C(2, 6)

侧向矢量BC：(-6 - 6, 8 - 2) = (-12, 6)。平行于 AB 边并穿过 C 的直线的方程形式为 y - 6 = (1/2)(x - 2)，或 y = (1/2)x + 5。 f) 点 C 到线 AB 的距离可以使用以下公式求得： d = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2)，其中(x0,y0)为C点坐标，a、b为直线AB方程的系数(4x + y = 12)，c = -12 。代入这些值，我们得到： d = |42 + 16 - 12| / sqrt(4^2 + 1^2) = 2 / sqrt(17)。

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IDZ Ryabushko 3.2 选项 12 是解决与三角形 ABC 相关的几何问题的任务，三角形 ABC 由顶点 A(–4;2)、B(8;–6) 和 C(2;6) 定义。

在任务中你需要找到：

• 方程AB边；
• CH高度方程；
• AM 方程媒体；
• 中线AM与高度CH的交点N；
• 穿过顶点 C 并平行于边 AB 的直线方程；
• 点C到直线AB的距离。

任务中还给出了边 AB、高 BN 和中位 AM 的方程，您需要找到三角形 ABC 的另外两条边的方程。

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