IDZ Ryabushko 3.2 Opção 12

Não. 1 Para um triângulo ∆ABC com vértices A(-4;2), B(8;-6) e C(2;6), é necessário encontrar: a) a equação do lado AB; b) equação de altura CH; c) equação da mediana AM; d) ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH; e) equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB; e) a distância do ponto C à linha AB.

a) Equação do lado AB: Para encontrar a equação do lado AB, é necessário calcular as coordenadas do vetor AB e depois utilizá-las para construir a equação da reta que passa por A e B. Coordenadas do vetor AB: ( 8-(-4);-6-2) = (12;-8) Equação da reta que passa por A e B: y-2 = (-8/12)(x-(-4)), que é, y = (-2/3)x + (2/3).

b) Equação da altura CH: A altura CH é perpendicular ao lado AB e passa pelo vértice C. Assim, a equação da altura pode ser encontrada usando as coordenadas dos pontos C e o vetor perpendicular a AB (neste caso é o vetor ( -8,-12)) . A equação de uma reta que passa por C e é perpendicular a AB: -12(x-2) + (-8)(y-6) = 0, ou seja, 12x + 8y - 96 = 0.

c) Equação da mediana AM: A mediana AM é o segmento de reta que liga o vértice A ao ponto médio do lado BC. Vamos encontrar as coordenadas do meio do lado BC: Coordenadas do meio do BC: ((8+2)/2;(-6+6)/2) = (5;0) Equação da reta que passa por A e (5;0): y-2 = (0-2/5)(x-(-4)), ou seja, y = (-2/5)x + (6/5).

d) Ponto N da intersecção da mediana AM e da altura CH: Para encontrar o ponto N é necessário resolver um sistema de equações composto pela equação da mediana AM e pela equação da altura CH. Resolvido o sistema, obtemos o ponto de intersecção N(1;-2).

e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB: Uma reta paralela ao lado AB e que passa por C tem o mesmo vetor diretor de AB. Assim, a equação da reta pode ser encontrada usando as coordenadas do ponto C e o vetor de direção AB. A equação de uma reta que passa por C e paralela a AB é: y-6 = (-2/3)(x-2), ou seja, y = (-2/3)x + (14/3).

e) Distância do ponto C à reta AB: A distância entre o ponto C e a reta AB é igual ao comprimento da projeção do vetor AC no vetor AB, dividido pelo comprimento do vetor AB. Comprimento do vetor AB: √((8-(-4))^2+(-6-2)^2) = √(144+64) = √208. Projeção do vetor AC no vetor AB: |AC|cos(θ), onde θ é o ângulo entre os vetores AC e AB. cos(θ) = ((-4-2)(8-2)+(2-6)(-6+2))/|AC||AB| = (-36-18)/√208*10 = -3/√208. Assim, a distância do ponto C à linha AB é igual a |AC|cos(θ)/√208 = 3√13/13.

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Desculpe, mas você fez duas perguntas diferentes. A primeira questão requer uma descrição do produto “IDZ Ryabushko 3.2 Opção 12”, e a segunda questão requer uma solução para o problema de encontrar as equações dos outros dois lados de um triângulo usando as equações conhecidas de um lado e altura.

Em relação à segunda questão, para encontrar as equações dos outros dois lados do triângulo, você pode usar as propriedades do triângulo e o sistema de equações.

a) A equação para o lado AB já está dada: 4x + y = 12. b) A equação da altura BH passa pelo vértice B e é perpendicular ao lado AB. Isso significa que sua equação pode ser escrita como y - (-6) = (4/5)(x - 8). Transformando, obtemos y = (4/5)x - 22/5. c) A mediana AM também passa pelo vértice B e pelo ponto médio do lado AC. Vamos encontrar as coordenadas do ponto M, que é o meio do lado AC: ((-4+2)/2, (2+6)/2) = (-1, 4). A equação para a mediana AM pode ser escrita como y - (-6) = (-4/5)(x - 8). Transformando, obtemos y = (-4/5)x + 26/5. d) O ponto N é o ponto de intersecção da mediana AM e da altura BH. Para encontrá-lo, resolvemos um sistema de equações composto pelas equações da mediana AM e da altura BH. Vamos substituir as equações da mediana e da altura no sistema e trazê-lo para uma forma conveniente:

x + y = 6 4x - 5y = -2

Resolvido o sistema, obtemos as coordenadas do ponto N: x = 2, y = 4. Assim, o ponto N possui coordenadas (2, 4). e) A equação do lado BC pode ser encontrada conhecendo-se as coordenadas dos pontos B e C. Vamos encontrá-las:

B(8, -6) C(2, 6)

Vetor de direção lateral BC: (-6 - 6, 8 - 2) = (-12, 6). Uma reta paralela ao lado AB e passando por C terá uma equação da forma y - 6 = (1/2)(x - 2), ou y = (1/2)x + 5. f) A distância do ponto C à linha AB pode ser encontrada usando a fórmula: d = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2), onde (x0, y0) são as coordenadas do ponto C, aeb são os coeficientes da equação da reta AB (4x + y = 12), c = -12 . Substituindo os valores, obtemos: d = |42 + 16 - 12| /sqrt(4^2 + 1^2) = 2 /sqrt(17).

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IDZ Ryabushko 3.2 Opção 12 é uma tarefa para resolver problemas geométricos relacionados ao triângulo ABC, definido pelos vértices A(–4;2), B(8;–6) e C(2;6).

Na tarefa você precisa encontrar:

• Equação do lado AB;
• Equação de altura CH;
• AM a equação media;
• Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH;
• Equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB;
• Distância do ponto C à reta AB.

Também na tarefa são dadas as equações do lado AB, altitude BN e mediana AM, e você precisa encontrar as equações dos outros dois lados do triângulo ABC.

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