IDZ Ryabushko 3.2 Opción 12

No. 1 Para un triángulo ∆ABC con vértices A(-4;2), B(8;-6) y C(2;6), es necesario encontrar: a) la ecuación del lado AB; b) ecuación de altura CH; c) ecuación de la mediana AM; d) punto N de intersección de la mediana AM y la altura CH; e) ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB; e) la distancia desde el punto C a la recta AB.

a) Ecuación del lado AB: Para encontrar la ecuación del lado AB, es necesario calcular las coordenadas del vector AB y luego usarlas para construir la ecuación de la recta que pasa por A y B. Coordenadas del vector AB: ( 8-(-4);-6-2) = (12;-8) Ecuación de la recta que pasa por A y B: y-2 = (-8/12)(x-(-4)), que es, y = (-2/3)x + (2/3).

b) Ecuación de altura CH: La altura CH es perpendicular al lado AB y pasa por el vértice C. Así, la ecuación de altura se puede encontrar usando las coordenadas de los puntos C y el vector perpendicular a AB (en este caso es el vector ( -8,-12)) . La ecuación de una recta que pasa por C y es perpendicular a AB: -12(x-2) + (-8)(y-6) = 0, es decir, 12x + 8y - 96 = 0.

c) Ecuación de la mediana AM: La mediana AM es el segmento de recta que conecta el vértice A y el punto medio del lado BC. Encontremos las coordenadas de la mitad del lado BC: Coordenadas de la mitad de BC: ((8+2)/2;(-6+6)/2) = (5;0) Ecuación de la recta que pasa por A y (5;0): y-2 = (0-2/5)(x-(-4)), es decir, y = (-2/5)x + (6/5).

d) Punto N de la intersección de la mediana AM y la altura CH: Para encontrar el punto N es necesario resolver un sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la mediana AM y la ecuación de la altura CH. Resuelto el sistema, obtenemos el punto de intersección N(1;-2).

e) Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y paralela al lado AB: Una recta paralela al lado AB y que pasa por C tiene el mismo vector director que AB. Por tanto, la ecuación de la recta se puede encontrar usando las coordenadas del punto C y el vector director AB. La ecuación de una recta que pasa por C y es paralela a AB es: y-6 = (-2/3)(x-2), es decir, y = (-2/3)x + (14/3).

e) Distancia del punto C a la recta AB: La distancia entre el punto C y la recta AB es igual a la longitud de la proyección del vector AC sobre el vector AB, dividida por la longitud del vector AB. Longitud del vector AB: √((8-(-4))^2+(-6-2)^2) = √(144+64) = √208. Proyección del vector AC sobre el vector AB: |AC|cos(θ), donde θ es el ángulo entre los vectores AC y AB. porque(θ) = ((-4-2)(8-2)+(2-6)(-6+2))/|CA||AB| = (-36-18)/√208*10 = -3/√208. Por tanto, la distancia del punto C a la recta AB es igual a |AC|cos(θ)/√208 = 3√13/13.

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Lo siento, pero hiciste dos preguntas diferentes. La primera pregunta requiere una descripción del producto "IDZ Ryabushko 3.2 Opción 12", y la segunda pregunta requiere una solución al problema de encontrar las ecuaciones de los otros dos lados de un triángulo utilizando las ecuaciones conocidas de un lado y la altura.

Respecto a la segunda pregunta, para encontrar las ecuaciones de los otros dos lados del triángulo, puedes usar las propiedades del triángulo y el sistema de ecuaciones.

a) La ecuación del lado AB ya está dada: 4x + y = 12. b) La ecuación de altura BH pasa por el vértice B y es perpendicular al lado AB. Esto significa que su ecuación se puede escribir como y - (-6) = (4/5)(x - 8). Transformando, obtenemos y = (4/5)x - 22/5. c) La mediana AM también pasa por el vértice B y el punto medio del lado AC. Encontremos las coordenadas del punto M, que es el medio del lado AC: ((-4+2)/2, (2+6)/2) = (-1, 4). La ecuación para la mediana AM se puede escribir como y - (-6) = (-4/5)(x - 8). Transformando, obtenemos y = (-4/5)x + 26/5. d) El punto N es el punto de intersección de la mediana AM y la altura BH. Para encontrarlo, resolvemos un sistema de ecuaciones que consta de las ecuaciones para la mediana AM y la altura BH. Sustituyamos las ecuaciones de la mediana y la altura en el sistema y lo llevamos a una forma conveniente:

x + y = 6 4x - 5y = -2

Resuelto el sistema, obtenemos las coordenadas del punto N: x = 2, y = 4. Por tanto, el punto N tiene coordenadas (2, 4). e) La ecuación del lado BC se puede encontrar conociendo las coordenadas de los puntos B y C. Encontrémoslas:

B(8, -6) C(2, 6)

Vector de dirección lateral BC: (-6 - 6, 8 - 2) = (-12, 6). Una línea paralela al lado AB y que pasa por C tendrá una ecuación de la forma y - 6 = (1/2)(x - 2), o y = (1/2)x + 5. f) La distancia del punto C a la recta AB se puede encontrar usando la fórmula: d = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2), donde (x0, y0) son las coordenadas del punto C, a y b son los coeficientes de la ecuación de la recta AB (4x + y = 12), c = -12 . Sustituyendo los valores obtenemos: d = |42 + 16 - 12| / raíz cuadrada (4^2 + 1^2) = 2 / raíz cuadrada (17).

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IDZ Ryabushko 3.2 La opción 12 es una tarea para resolver problemas geométricos relacionados con el triángulo ABC, definido por los vértices A(–4;2), B(8;–6) y C(2;6).

En la tarea necesitas encontrar:

• Ecuación del lado AB;
• Ecuación de altura CH;
• AM la ecuación media;
• Punto N de intersección de la mediana AM y la altura CH;
• Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB;
• Distancia del punto C a la recta AB.

También en la tarea se dan las ecuaciones del lado AB, la altitud BN y la mediana AM, y necesitas encontrar las ecuaciones de los otros dos lados del triángulo ABC.

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