IDZ Ryabushko 2.2 选项 8

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No. 1 给定向量 a(4;2;-3)、b(2;0;1) 和 c(-12;-6;9)。需要：a)计算三个向量的混合积； b) 求矢量积的模； c) 计算两个向量的标量积； d) 检查两个向量是否共线或正交； e) 检查三个向量是否共面。

No. 2 金字塔的顶部位于点 A(7;5;8)、B(–4;–5;3)、C(2;–3;5) 和 D(5;1;–4) ）。

第 3 号力 F(–9;5;7) 施加到点 A(1;6;–3)。需要计算： a) 力的作用点直线移动到B(4;–3;5)点时的力做功； b) 相对于 B 点的力矩模量。

“IDZ Ryabushko 2.2 Option 8”是一款面向在高等教育机构学习数学的学生的数字产品。该产品包含多项数学活动，可帮助学生提高该领域的知识和技能。

该产品的设计采用漂亮的 HTML 格式，这使得您更容易感知信息并帮助您快速导航任务。此外，该产品是数字化的，让您足不出户即可快速轻松地获取资料。

对于想要借助高质量和方便的教育材料来提高数学知识的学生来说，“IDZ Ryabushko 2.2 Option 8”是一个绝佳的选择。

IDZ Ryabushko 2.2 Option 8 是一组针对高等教育机构学生的数学任务，以方便的 HTML 格式呈现。每个任务都附有详细的描述和解决方法的说明。

No. 1 给定向量 a(4;2;-3)、b(2;0;1) 和 c(-12;-6;9)。必要的： a) 计算三个向量的混合积； b) 求矢量积的模； c) 计算两个向量的标量积； d) 检查两个向量是否共线或正交； e) 检查三个向量是否共面。

No. 2 金字塔的顶部位于点 A(7;5;8)、B(–4;–5;3)、C(2;–3;5) 和 D(5;1;–4) ）。必要的：

• 求金字塔底面的面积；
• 求出金字塔的高度；
• 求金字塔的体积。

第 3 号力 F(–9;5;7) 施加到点 A(1;6;–3)。您需要计算： a) 当力的作用点直线移动到 B(4;–3;5) 点时的力的功； b) 相对于 B 点的力矩模量。

所有任务都是数学中的经典例子，将有助于提高学生在该领域的知识和技能。由于感知信息的便捷格式以及随时访问材料的能力，Ryabushko IDZ 2.2 Option 8 对于想要提高数学知识的学生来说是一个绝佳的选择。

“IDZ Ryabushko 2.2 Option 8”是一款专为在高等教育机构学习数学的学生设计的数字产品。该产品包含多项数学活动，可帮助学生提高该领域的知识和技能。

在任务 1 中，给出向量 a(4;2;-3)、b(2;0;1) 和 c(-12;-6;9)。需要完成以下任务： a) 计算三个向量的混合积； b) 求矢量积的模； c) 计算两个向量的标量积； d) 检查两个向量是否共线或正交； e) 检查三个向量是否共面。

在任务 2 中，金字塔的顶点在点 A(7;5;8)、B(–4;–5;3)、C(2;–3;5) 和 D(5;1) 处给出；–4)。

在任务 3 中，力 F(–9;5;7) 施加到点 A(1;6;–3)。需要计算： a) 力的作用点直线移动到B(4;–3;5)点时的力做功； b) 相对于 B 点的力矩模量。

该产品的设计采用漂亮的 HTML 格式，这使得您更容易感知信息并帮助您快速导航任务。此外，该产品是数字化的，让您足不出户即可快速轻松地获取资料。如果您是一名学生，并且希望借助优质且方便的教材来提高您的数学知识，“IDZ Ryabushko 2.2 Option 8”是您的绝佳选择。

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IDZ Ryabushko 2.2 选项 8 是一个线性代数任务，包括三个任务。

1号 给出三个向量： a(4;2;-3) b(2;0;1) c(-12;-6;9)

a) 需要计算三个向量的混合积。

三个向量的混合积可以使用以下公式计算： a (b x c) 其中 x 是矢量积符号，· 是标量积符号。

请注意，向量 b 和向量 c 是线性相关的，因为向量 c = -3/2 * b。 因此，矢量乘积 b x c 等于 0，因此混合乘积也等于 0。

答案：a · (b x c) = 0。

b) 需要求向量积的模。

两个向量的向量积的模可以使用以下公式计算： |b×c| = |b|*|c|*sin（向量之间的角度）。

让我们求向量 b 和 c 的向量积： b x c = (2;0;1) x (-12;-6;9) = (-6;-18;-12)。

我们来求向量积的模： |b×c| = sqrt((-6)^2 + (-18)^2 + (-12)^2) = 6*sqrt(10)。

答案： |b x c| = 6*sqrt(10)。

c) 需要计算两个向量的标量积。

两个向量的标量积可以使用以下公式计算： a · b = |a|*|b|*cos（向量之间的角度）。

让我们求向量 a 和 b 的标量积： a · b = (4;2;-3) · (2;0;1) = 8 - 3 = 5。

答案：a·b=5。

d) 需要检查两个向量是否共线或正交。

如果两个向量位于同一条直线上并且方向相同或方向相反，则它们是共线的。如果两个向量的点积为零，则它们是正交的。

让我们计算向量 a 和 b 的标量积： a b = 5。

由于标量积不为零，因此向量 a 和 b 不正交。要检查共线性，您需要检查这些向量是否与向量 c 共线。

我们来计算向量 a 和 c 的坐标之比： 4/-12 = 2/-6 = -3/9。

矢量a和c的坐标比彼此不相等，因此，矢量a和c不共线。

答案：向量a和b既不正交也不共线。

d) 需要检查三个向量是否共面。

如果三个向量位于同一平面内，则它们共面。也就是说，如果存在一个与它们中的每一个正交的向量。

让我们计算向量 a 和 b 的向量积： a x b = (4;2;-3) x (2;0;1) = (2;-10;-4)。

让我们计算向量 a x b 和 c 的标量积： (a x b) c = (2;-10;-4) (-12;-6;9) = -24 + 60 - 36 = 0。

由于标量积为零，因此向量 a x b 与向量 c 正交，这意味着所有三个向量都是共面的。

答案：三个向量a、b、c共面。

2号 金字塔的顶点已给出：A(7;5;8)、B(-4;-5;3)、C(2,-3,5)、D(5;1;-4)。

您需要找到金字塔的体积。

金字塔的体积可以使用以下公式计算： V = 1/3 * S * h， 其中S是金字塔底面积，h是金字塔的高度。

底面积可以按三角形ABC的面积计算： S = 1/2 * |AB x AC|， 其中 x 是向量积符号， | | - 矢量模块。

计算向量 AB 和 AC： AB = (-11;-10;-5), AC = (-5;-8;-3)。

计算向量积 AB x AC： AB x AC = (-10;20;-30)。

让我们计算向量 AB x AC 的大小： |AB x AC| = sqrt((-10)^2 + 20^2 + (-30)^2) = 10*sqrt(2)*sqrt(7)。

所以 S = 1/2 * 10*sqrt(2)开方(7) = 5开方(14)。

金字塔的高度可以通过从顶点 D 到包含三角形 ABC 的平面的距离来求出。为此，请找出经过 A、B 和 C 点的平面方程。

平面的法向量可以通过向量 AB 和 AC 的叉积找到： n = AB x AC = (-10;20;-30)。

平面方程为： -10x + 20y - 30z + D = 0， 其中D为未知常数，将A点坐标代入即可求得： -107 + 205 - 30*8 + D = 0， D = 10。

因此，平面方程为： -10x + 20y - 30z + 10 = 0。

金字塔的高度等于D点到平面的距离，可以使用以下公式计算： h = |(-105 + 201 - 30*(-4) + 10)| / sqrt((-10)^2 + 20^2 + (-30)^2)。

我们来计算一下这个值： 小时=9开方(14) / 开方(1400) = 9开方(14) / 20。

所以 V = 1/3 * S * h = 1/3 * 5开方(14) * 9开方(14) / 20 = 27/4。

答案：金字塔的体积是27/4。

第三名 给出了施加到点 A(1;6;-3) 和点 B(4;-3;5) 的力 F(-9;5;7)。

a) 需要计算力的作用点直线移动到B点时的功。

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