IDZ Ryabushko 2.2 Επιλογή 8

Ο κώδικας HTML δεν είναι κείμενο, επομένως δεν θα μπορώ να διατηρήσω τη δομή του κατά την αναδιατύπωση των ερωτήσεων. Μπορώ να επαναδιατυπώσω τις ερωτήσεις, αλλά χωρίς να διατηρήσω τη δομή HTML.

Νο. 1 Δίνονται οι φορείς a(4;2;-3), b(2;0;1) και c(-12;-6;9). Είναι απαραίτητο: α) να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. β) βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου. γ) να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων. δ) ελέγξτε εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια. ε) ελέγξτε εάν τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Νο. 2 Οι κορυφές της πυραμίδας βρίσκονται στα σημεία A(7;5;8), B(–4;–5;3), C(2;–3;5) και D(5;1;–4 ).

Νο. 3 Η δύναμη F(–9;5;7) εφαρμόζεται στο σημείο A(1;6;–3). Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί: α) το έργο της δύναμης στην περίπτωση που το σημείο εφαρμογής της, κινούμενο ευθύγραμμα, μετακινείται στο σημείο Β(4;–3;5). β) μέτρο της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο Β.

Το "IDZ Ryabushko 2.2 Option 8" είναι ένα ψηφιακό προϊόν που προορίζεται για μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά σε ιδρύματα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Αυτό το προϊόν περιέχει πολλές μαθηματικές δραστηριότητες που θα βοηθήσουν τους μαθητές να βελτιώσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους σε αυτόν τον τομέα.

Ο σχεδιασμός του προϊόντος είναι κατασκευασμένος σε όμορφη μορφή HTML, η οποία διευκολύνει την αντίληψη των πληροφοριών και σας βοηθά να πλοηγηθείτε γρήγορα στις εργασίες. Επιπλέον, αυτό το προϊόν είναι ψηφιακό, το οποίο σας επιτρέπει να έχετε γρήγορη και εύκολη πρόσβαση σε υλικά χωρίς να βγείτε από το σπίτι σας.

Το "IDZ Ryabushko 2.2 Option 8" είναι μια εξαιρετική επιλογή για μαθητές που θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά με τη βοήθεια υψηλής ποιότητας και βολικού εκπαιδευτικού υλικού.

Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 8 είναι ένα σύνολο εργασιών στα μαθηματικά για φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, που παρουσιάζεται σε μια βολική μορφή HTML. Κάθε εργασία συνοδεύεται από λεπτομερή περιγραφή και οδηγίες για την επίλυσή της.

Νο. 1 Δίνονται οι φορείς a(4;2;-3), b(2;0;1) και c(-12;-6;9). Απαραίτητη: α) να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. β) βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου. γ) να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων. δ) ελέγξτε εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια. ε) ελέγξτε εάν τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Νο. 2 Οι κορυφές της πυραμίδας βρίσκονται στα σημεία A(7;5;8), B(–4;–5;3), C(2;–3;5) και D(5;1;–4 ). Απαραίτητη:

• βρείτε την περιοχή της βάσης της πυραμίδας.
• βρείτε το ύψος της πυραμίδας.
• βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.

Νο. 3 Η δύναμη F(–9;5;7) εφαρμόζεται στο σημείο A(1;6;–3). Πρέπει να υπολογίσετε: α) το έργο της δύναμης στην περίπτωση που το σημείο εφαρμογής του, κινούμενο ευθύγραμμα, μετακινείται στο σημείο Β(4;–3;5). β) μέτρο της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο Β.

Όλες οι εργασίες είναι κλασικά παραδείγματα από τα μαθηματικά και θα βοηθήσουν στη βελτίωση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών σε αυτόν τον τομέα. Χάρη στη βολική μορφή για την αντίληψη πληροφοριών και τη δυνατότητα πρόσβασης σε υλικό ανά πάσα στιγμή, το Ryabushko IDZ 2.2 Option 8 είναι μια εξαιρετική επιλογή για μαθητές που θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά.

Το "IDZ Ryabushko 2.2 Option 8" είναι ένα ψηφιακό προϊόν για μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά σε ιδρύματα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Αυτό το προϊόν περιέχει πολλές μαθηματικές δραστηριότητες που θα βοηθήσουν τους μαθητές να βελτιώσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους σε αυτόν τον τομέα.

Στην εργασία Νο. 1, δίνονται τα διανύσματα a(4;2;-3), b(2;0;1) και c(-12;-6;9). Είναι απαραίτητο να ολοκληρώσετε τις ακόλουθες εργασίες: α) να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. β) βρείτε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου. γ) να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων. δ) ελέγξτε εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια. ε) ελέγξτε εάν τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Στην εργασία Νο. 2, δίνονται οι κορυφές της πυραμίδας στα σημεία A(7;5;8), B(–4;–5;3), C(2;–3;5) και D(5;1 ;–4).

Στην εργασία Νο. 3, η δύναμη F(–9;5;7) εφαρμόζεται στο σημείο A(1;6;–3). Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί: α) το έργο της δύναμης στην περίπτωση που το σημείο εφαρμογής της, κινούμενο ευθύγραμμα, μετακινείται στο σημείο Β(4;–3;5). β) μέτρο της ροπής δύναμης σε σχέση με το σημείο Β.

Ο σχεδιασμός του προϊόντος είναι κατασκευασμένος σε όμορφη μορφή HTML, η οποία διευκολύνει την αντίληψη των πληροφοριών και σας βοηθά να πλοηγηθείτε γρήγορα στις εργασίες. Επιπλέον, αυτό το προϊόν είναι ψηφιακό, το οποίο σας επιτρέπει να έχετε γρήγορη και εύκολη πρόσβαση σε υλικά χωρίς να βγείτε από το σπίτι σας. Εάν είστε μαθητής και θέλετε να βελτιώσετε τις γνώσεις σας στα μαθηματικά με τη βοήθεια υψηλής ποιότητας και εύχρηστου εκπαιδευτικού υλικού, το "IDZ Ryabushko 2.2 Option 8" είναι μια εξαιρετική επιλογή για εσάς.

***

IDZ Ryabushko 2.2 Η επιλογή 8 είναι μια γραμμική εργασία άλγεβρας που περιλαμβάνει τρεις εργασίες.

Νο. 1 Δίνονται τρία διανύσματα: α(4;2;-3) b(2;0;1) c(-12;-6;9)

α) Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων.

Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: α (β x γ) όπου x είναι το σύμβολο του διανυσματικού προϊόντος, · είναι το σύμβολο του βαθμωτού προϊόντος.

Σημειώστε ότι το διάνυσμα b και το διάνυσμα c εξαρτώνται γραμμικά, αφού το διάνυσμα c = -3/2 * b. Επομένως, το διανυσματικό γινόμενο b x c είναι ίσο με μηδέν, και επομένως το μικτό προϊόν είναι ίσο με μηδέν.

Απάντηση: a · (b x c) = 0.

β) Είναι απαραίτητο να βρεθεί η ενότητα του διανυσματικού γινόμενου.

Το μέτρο του διανυσματικού γινομένου δύο διανυσμάτων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: |b x c| = |b|*|c|*sin(γωνία μεταξύ διανυσμάτων).

Ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων b και c: b x c = (2;0;1) x (-12;-6;9) = (-6;-18;-12).

Ας βρούμε την ενότητα του διανυσματικού γινόμενου: |b x c| = sqrt((-6)^2 + (-18)^2 + (-12)^2) = 6*sqrt(10).

Απάντηση: |b x c| = 6*sqrt(10).

γ) Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: a · b = |a|*|b|*cos(γωνία μεταξύ διανυσμάτων).

Ας βρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: a · b = (4;2;-3) · (2;0;1) = 8 - 3 = 5.

Απάντηση: α · β = 5.

δ) Είναι απαραίτητο να ελεγχθεί εάν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ή ορθογώνια.

Δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έχουν την ίδια ή αντίθετη φορά. Δύο διανύσματα είναι ορθογώνια αν το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν.

Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: α β = 5.

Εφόσον το βαθμωτό γινόμενο δεν είναι μηδέν, τα διανύσματα a και b δεν είναι ορθογώνια. Για να ελέγξετε για συγγραμμικότητα, πρέπει να ελέγξετε εάν αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά με το διάνυσμα c.

Ας υπολογίσουμε τον λόγο των συντεταγμένων των διανυσμάτων a και c: 4/-12 = 2/-6 = -3/9.

Οι λόγοι συντεταγμένων των διανυσμάτων a και c δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, επομένως, τα διανύσματα a και c δεν είναι συγγραμμικά.

Απάντηση: Τα διανύσματα a και b δεν είναι ούτε ορθογώνια ούτε συγγραμμικά.

δ) Είναι απαραίτητο να ελεγχθεί αν τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Αν δηλαδή υπάρχει ένα διάνυσμα που είναι ορθογώνιο σε καθένα από αυτά.

Ας υπολογίσουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: a x b = (4;2;-3) x (2;0;1) = (2;-10;-4).

Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a x b και c: (a x b) · c = (2;-10;-4) · (-12;-6;9) = -24 + 60 - 36 = 0.

Εφόσον το βαθμωτό γινόμενο είναι μηδέν, το διάνυσμα a x b είναι ορθογώνιο στο διάνυσμα c, που σημαίνει ότι και τα τρία διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Απάντηση: Τρία διανύσματα a, b και c είναι ομοεπίπεδα.

Νο 2 Δίνονται οι κορυφές της πυραμίδας: A(7;5;8), B(-4;-5;3), C(2,-3,5), D(5;1;-4).

Πρέπει να βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.

Ο όγκος της πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: V = 1/3 * S * h, όπου S είναι το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας, h το ύψος της πυραμίδας.

Το εμβαδόν της βάσης μπορεί να υπολογιστεί ως το εμβαδόν του τριγώνου ABC: S = 1/2 * |AB x AC|, όπου x είναι το σύμβολο του διανυσματικού προϊόντος, | | - διανυσματική ενότητα.

Υπολογίστε τα διανύσματα AB και AC: AB = (-11;-10;-5), AC = (-5;-8;-3).

Υπολογίστε το διανυσματικό γινόμενο AB x AC: AB x AC = (-10;20;-30).

Ας υπολογίσουμε το μέγεθος του διανύσματος AB x AC: |AB x AC| = sqrt((-10)^2 + 20^2 + (-30)^2) = 10*sqrt(2)*sqrt(7).

Άρα S = 1/2 * 10*sqrt(2)sqrt(7) = 5sqrt(14).

Το ύψος της πυραμίδας μπορεί να βρεθεί ως η απόσταση από την κορυφή D έως το επίπεδο που περιέχει το τρίγωνο ABC. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ.

Το επίπεδο κανονικό διάνυσμα μπορεί να βρεθεί ως το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων AB και AC: n = AB x AC = (-10;20;-30).

Η εξίσωση του αεροπλάνου είναι: -10x + 20y - 30z + D = 0, όπου D είναι μια άγνωστη σταθερά που μπορεί να βρεθεί αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Α: -107 + 205 - 30*8 + D = 0, D = 10.

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου είναι: -10x + 20y - 30z + 10 = 0.

Το ύψος της πυραμίδας είναι ίσο με την απόσταση από το σημείο D στο επίπεδο, η οποία μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: h = |(-105 + 201 - 30*(-4) + 10)| / sqrt((-10)^2 + 20^2 + (-30)^2).

Ας υπολογίσουμε την τιμή: h = 9sqrt(14) / sqrt(1400) = 9sqrt(14) / 20.

Άρα V = 1/3 * S * h = 1/3 * 5sqrt(14) * 9sqrt(14) / 20 = 27/4.

Απάντηση: Ο όγκος της πυραμίδας είναι 27/4.

Νο 3 Δίνεται η δύναμη F(-9;5;7) που εφαρμόζεται στο σημείο A(1;6;-3) και στο σημείο B(4;-3;5).

α) Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το έργο της δύναμης στην περίπτωση που το σημείο εφαρμογής της, κινούμενο ευθύγραμμα, κινείται στο σημείο Β.

***

1. Πολύ βολική και κατανοητή μορφή του IDZ Ryabushko 2.2 Επιλογή 8.
2. Χάρη στο Ryabushko IDZ 2.2 Option 8, είναι εύκολο και γρήγορο να προετοιμαστείτε για την εξέταση.
3. Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 8 περιέχει όλες τις απαραίτητες εργασίες για την επιτυχή ολοκλήρωση.
4. Η επίλυση εργασιών στο Ryabushko IDZ 2.2 Option 8 βοηθά στην καλύτερη κατανόηση του υλικού.
5. Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να πάρουν υψηλό βαθμό στην εργασία τους.
6. Το IDZ Ryabushko 2.2 Option 8 παρουσιάζεται σε μια βολική μορφή που είναι εύκολη στην εκτύπωση και τη χρήση εκτός σπιτιού.
7. Είναι πολύ βολικό το Ryabushko IDZ 2.2 Option 8 να περιέχει απαντήσεις σε εργασίες, οι οποίες σας επιτρέπουν να ελέγχετε γρήγορα τις λύσεις σας.

Ιδιαιτερότητες:

Εξαιρετική προετοιμασία για την εξέταση - IDZ Ryabushko 2.2 Option 8 βοηθά στη γρήγορη και αποτελεσματική εδραίωση της ύλης.

Μια πολύ βολική μορφή - τα ψηφιακά προϊόντα μπορούν να ληφθούν και να χρησιμοποιηθούν σε οποιαδήποτε συσκευή.

Μια ποικιλία εργασιών βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση του θέματος και στην προετοιμασία για την εξέταση.

Οι εργασίες υψηλής ποιότητας και οι λεπτομερείς απαντήσεις βοηθούν στη βελτίωση των δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων.

Πολλές πληροφορίες σε συμπαγή μορφή - ιδανικό για προετοιμασία εξετάσεων σε σύντομο χρονικό διάστημα.

Υλικό υψηλής ποιότητας και συνάφεια πληροφοριών.

Ευκολία χρήσης και προσβασιμότητα - τα ψηφιακά αγαθά μπορούν να ληφθούν και να χρησιμοποιηθούν αμέσως.

Κατάλληλο για ανεξάρτητη εργασία και επανάληψη υλικού.

Βοηθά στην αύξηση της ακαδημαϊκής επίδοσης και της αυτοπεποίθησης.

Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να πάρουν υψηλές βαθμολογίες στις εξετάσεις.