粒子的移动方式使得坐标取决于时间

解决任务10803

给定： 粒子运动方程： x = (0.4t + 1) m, y = 0.3t m 时间 t = 1 s

求：在时间 t = 1 s 时半径矢量与粒子速度之间的角度

解： 1. 求 t = 1 s 时刻粒子的速度： x' = 0.4 m/s y' = 0.3 m/s 因此，t = 1 s 时刻粒子的速度等于： √(x ' ² + y'²) = √((0.4)² + (0.3)²) ≈ 0.5 m/s

2. 求 t = 1 s 时刻粒子的半径向量： x = (0.4 1 + 1) m = 1.4 m y = 0.3 1 m = 0.3 m 因此，t = 1 s 时刻粒子的半径向量为等于： √(x² + y²) = √((1.4)² + (0.3)²) ≈ 1.41 m

3. 求半径矢量与粒子速度之间的角度： cos α = (x x' + y y') / (√(x² + y²) √(x'² + y'²)) 代入值： cos α = (1.4 0.4 + 0.3 0.3) / (1.41 0.5) ≈ 0.89 因此，在时间 t = 1 s 时，半径矢量与质点速度之间的夹角等于： α ≈ acos(0.89) ≈ 29.2°

答案：在时间 t = 1 s 时，半径矢量与质点速度之间的夹角约为 29.2°。

产品描述

产品名称： 运动中的粒子

描述：我们向您展示一款独特的数字产品——“运动中的粒子”。该产品将让您更好地理解粒子运动规律，并学习如何解决与物体运动相关的问题。

产品特点： 详细描述粒子的运动，由方程 x=(0.4t+1) m, y=0.3t m 展示粒子运动的彩色图表 确定半径之间角度问题的详细解决方案矢量和粒子在某一时刻的速度简要记录解决问题时使用的条件、公式和定律

产品优势： 方便的材料呈现格式 对复杂主题的清晰解释 基于真实示例的详细问题解决方案

通过购买“运动中的粒子”，您将获得： 可靠且安全地访问数字产品 能够在任何方便的时间研究材料 如果您对材料有疑问，将获得支持和帮助

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产品描述“运动中的粒子”：

产品名称: 运动中的粒子 描述：该数字产品旨在研究粒子运动规律。在其中，您将找到对由函数 x=(0.4t+1) m、y=0.3t m 指定的坐标的粒子运动的详细描述，以及演示粒子运动的彩色图表。该产品的一个特点是对确定时间 t=1 s 时粒子半径矢量和速度之间的角度问题的详细解决方案，并简要描述了解决方案中使用的条件、公式和定律。该产品的优点是提供方便的材料格式、对复杂主题的清晰解释以及基于真实示例的问题的详细解决方案。

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该产品是第 10803 号问题的解决方案，其中包括求 1 秒内粒子的半径矢量与速度之间的角度。

问题的条件表明粒子的运动方式如下：其坐标取决于时间：x = (0.4t + 1) m, y = 0.3t m。

为了解决这个问题，需要使用公式来计算速度：

v = (dx/dt)i + (dy/dt)j,

其中 i 和 j 分别是沿坐标轴 OX 和 OY 的单位向量。

对 x 和 y 的表达式对时间求导，我们得到：

dx/dt = 0,4 м/c dy/dt = 0,3 м/c

因此，粒子在时间 t = 1 秒时的速度为：

v = (0,4 м/c)i + (0,3 м/c)j

接下来，要找到半径矢量和速度之间的角度，您需要使用矢量标量积的公式：

a * b = |a| * |b| * 余弦（θ），

其中 a 和 b 是向量，|a|和|b|是它们的长度，theta 是它们之间的角度。

此时，粒子的半径向量可以表示为：

r = xi + yj，

其中 x 和 y 是时间 t = 1 秒时粒子的坐标。

将坐标值代入，我们得到：

r = (0.4 m + 1) i + (0.3 m) j

半径向量的长度将等于：

|r| = sqrt((0.4 m + 1)^2 + (0.3 m)^2) ≈ 1.118 m

现在我们可以计算向量 r 和 v 的标量积：

r * v = (0.4 m + 1) * 0.4 m/c + 0.3 m * 0.3 m/c ≈ 0.46 m^2/c^2

还需要计算向量 r 和 v 的长度：

|r|约 1,118 米 |v| ≈ 0,5 м/c

将所有值代入向量标量积的公式，我们得到：

0.46 m^2/s^2 = 1.118 m * 0.5 m/s * cos(θ)

我们从哪里得到它：

余弦(θ) ≈ 0.823

最后，在时间 t = 1 秒时半径矢量与粒子速度之间的角度等于：

θ ≈ arccos(0.823) ≈ 34.1 度

因此，问题的答案是 34.1 度（四舍五入到小数点后一位）。

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