Opção 13 IDZ 6.2

IDZ - 6,2

Abaixo estão as soluções para os problemas:

1. Encontre y´ e y":

   Equação: x² + y² = pecado y

   Responder:

   y´= (-2xy + aconchegante) / (2y - siny)

   y"= (-2x(2y - siny) - (aconchegante - 2y + siny)(-2xy + siny)) / (2y - siny)²

2. Encontre x e y:

   Equações: x = 5cos t; y = 4 sen t

   Responder:

   Substitua t = arccos(x/5) na equação y = 4sin t e obtenha:

   y = 4sin(arccos(x/5)) = 4 * sqrt(1 - (x/5)²)

3. Encontre y‴(x0):

   Equação: y = x senx; x0 =π/2

   Responder:

   y" = (2cosx - xsinx) / x²

   y‴ = [(x² - 4)cosx - 2xsinx] / x³

   Substitua x0 = π/2 e obtenha y‴(x0) = -4/π³

4. Escreva a fórmula para a derivada de enésima ordem:

   Equação: y = exp(4x)

   Responder:

   yⁿ = 4ⁿ * exp(4x)

5. Escreva a equação normal:

   Equação: y = 3tg(2x) + 1; x = π/2

   Responder:

   Coeficiente angular da normal k = -1/k`, onde k` é o coeficiente angular da tangente.

   k` = y' = 6cos(2x)/cos²(2x) = 6tan(2x)

   k = -1/(6tan(2x)) = -tan(x/2)

   Equação normal: y - y₀ = k(x - x₀), onde (x₀, y₀) são as coordenadas do ponto tangente.

   Substitua x₀ = π/2 e obtenha y - 1 = -cot(π/4)(x - π/2) => y + x = 2 + π/2

6. Encontre a velocidade de movimento do ponto material:

   Lei do movimento: S = 5t³/3 - 2t + 7; t = 4s

   Responder:

   Obtemos a velocidade do movimento calculando a derivada da lei do movimento:

   v = S' = 5t² - 2

   Substitua t = 4 s e obtenha v = 78 m/s

O produto é uma tarefa de resolução de problemas matemáticos, incluída no Trabalho de Casa Individual (IH) do curso de matemática com número 6.2 e opção 13.

A tarefa consiste em seis tarefas:

1. Encontre y´ e y" para a equação x² + y² = sen y.
2. Encontre x e y para o sistema de equações x = 5cos t, y = 4sin t.
3. Encontre y‴(x0) para a função y = x senx para x0 = π/2.
4. Escreva a fórmula para a derivada de enésima ordem da função y = exp(4x).
5. Escreva a equação da normal à curva y = 3tg(2x) + 1 no ponto com a abcissa x = π/2.
6. Encontre a velocidade de movimento de um ponto material de acordo com a lei do movimento S = 5t³/3 - 2t + 7 no tempo t = 4 s.

Para cada problema é dada uma solução correspondente.

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A opção 13 IDZ 6.2 é um conjunto de problemas de matemática, que inclui as seguintes tarefas:

1. Encontre as derivadas y' e y'' da função y se x² + y² = sin y.
2. As equações paramétricas da curva são fornecidas: x = 5cos(t), y = 4sin(t). É necessário encontrar as derivadas de y' e y'' em relação ao parâmetro t.
3. Para a função y = x*sin(x), é necessário calcular a terceira derivada y‴(x0) no ponto x0 = π/2.
4. Escreva a fórmula da derivada de enésima ordem para a função y = exp(4x).
5. Encontre a equação da normal à curva y = 3tg(2x) + 1 no ponto com abcissa x = π/2.
6. A lei do movimento de um ponto material é dada: S = 5t³/3 - 2t + 7. É necessário encontrar a velocidade de seu movimento no momento t = 4 s.

Estes problemas dizem respeito a diversas áreas da matemática, tais como cálculo diferencial, equações paramétricas, derivadas de ordem superior, normais e velocidades. A solução desses problemas ajudará a melhorar suas habilidades no trabalho com funções e suas derivadas, bem como sua compreensão das propriedades geométricas das curvas e do movimento dos pontos materiais.

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