Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opção 23

Nº 1.23. Dados quatro pontos A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). É necessário: a) criar uma equação do plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3; b) compor uma equação de uma reta que passa pelos pontos A1 e A2; c) criar uma equação para uma reta que passa pelo ponto A4 e perpendicular ao plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3; d) criar uma equação da reta A3N paralela à reta A1A2; e) compor uma equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta que passa pelos pontos A1 e A2. É necessário calcular também: e) o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3; g) cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3.

Solução: a) Para compilar a equação de um plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3, pode-se usar a fórmula da equação geral de um plano: Ax + By + Cz + D = 0 onde A, B e C são os coeficientes da equação, e D é o termo livre. O primeiro passo é encontrar os vetores AB e AC: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) AC = C - A = (1 - 2; 2 - 3; 7 - 5) = (-1; -1; 2) Então você pode encontrar o produto vetorial dos vetores AB e AC: n = AB x AC = (0 - (-12); 12 - (-6); (- 3) - 0) = (12; 18; -3) Agora você pode substituir as coordenadas de qualquer um dos pontos (por exemplo, A1) e o vetor normal na equação do plano: 12x + 18y - 3z - 66 = 0

b) Para compilar a equação de uma linha reta passando pelos pontos A1 e A2, você pode usar a fórmula da equação paramétrica de uma linha reta: x = x1 + em y = y1 + bt z = z1 + ct onde a, b e c são as coordenadas do vetor de direção (podem ser encontradas como a diferença entre as coordenadas dos pontos correspondentes), e t é um parâmetro. Vetor de direção: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Então a equação da reta: x = 2 + 3t y = 3 z = 5 - 12t

c) Para compilar a equação de uma reta que passa pelo ponto A4 e perpendicular ao plano, você pode usar a fórmula da equação geral de um plano que passa pelo ponto A4: 12x + 18y - 3z - 12D = 0 onde D é o distância do plano à origem, que pode ser encontrada como o módulo do produto escalar do vetor normal do plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3, e o vetor que conecta a origem das coordenadas ao ponto A4: n = AB x AC = (12; 18; -3) OA4 = A4 - O = (4 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (4; 2; 0) D = |n * OA4| / |n| = (124 + 182 - 30) / √(12^2 + 18^2 + (-3)^2) ≈ 4,49 Então você pode substituir as coordenadas do ponto A4 e o vetor normal na equação do plano: 12x + 18y - 3z - 124.49 ≈ 0

d) Para encontrar o vetor diretor da reta A3N paralela à reta A1A2, pode-se pegar o vetor AB: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Como a reta A3N é paralela ao vetor AB, então sua equação pode ser escrita como uma equação paramétrica: x = 1 + 3t y = 2 z = 7 - 12t

e) Para criar uma equação para um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta que passa pelos pontos A1 e A2, você precisa encontrar o produto vetorial do vetor AB e o vetor que conecta o ponto A4 e a reta A1A2: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) A4B = B - A4 = (5 - 4; 3 - 2; -7 - 0) = (1; 1; -7) n = AB x A4B = (0 - (-12); 7 - (-21); 2 - 0) = (12; 28; 2) Agora você pode substituir as coordenadas do ponto A4 e o vetor normal em a equação do plano: 12x + 28y + 2z - (124 + 282 + 2*0) = 0

f) Para encontrar o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3, pode-se usar a fórmula: sin α = |(n * AB)| / (|n| * |AB|) onde n é o vetor normal do plano, AB é o vetor direção da reta A1A4. Vetor de direção da reta A1A4: A4A1 = A1 - A4 = (2 - 4; 3 - 2; 5 - 0) = (-2; 1; 5) Então o seno do ângulo será igual a: sin α = | (n*AB)| / (|n| * |AB|) = |(12*-2 + 281 + 25)| / (√(12^2 + 28^2 + 2^2) * √((-2)^2 + 1^2 + 5^2)) ≈ 0.347

g) Para encontrar o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3, pode-se usar a fórmula: cos α = |(n * P)| / (|n| * |P|) onde n é o vetor normal do plano, P é o vetor,

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