Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opzione 23

N. 1.23. Dati quattro punti A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). È necessario: a) creare un'equazione del piano passante per i punti A1, A2 e A3; b) comporre l'equazione di una retta passante per i punti A1 e A2; c) creare un'equazione per una retta passante per il punto A4 e perpendicolare al piano passante per i punti A1, A2 e A3; d) creare un'equazione della retta A3N parallela alla retta A1A2; e) comporre l'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta passante per i punti A1 e A2. Occorre inoltre calcolare: f) il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 e il piano passante per i punti A1, A2 e A3; g) coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano passante per i punti A1, A2 e A3.

Soluzione: a) Per compilare l'equazione di un piano passante per i punti A1, A2 e A3, si può utilizzare la formula per l'equazione generale di un piano: Ax + By + Cz + D = 0 dove A, B e C sono gli coefficienti dell'equazione e D è il termine libero. Il primo passo è trovare i vettori AB e AC: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) AC = C - A = (1 - 2; 2 - 3; 7 - 5) = (-1; -1; 2) Quindi puoi trovare il prodotto vettoriale dei vettori AB e AC: n = AB x AC = (0 - (-12); 12 - (-6); (- 3) - 0) = (12; 18; -3) Ora puoi sostituire le coordinate di uno qualsiasi dei punti (ad esempio A1) e il vettore normale nell'equazione del piano: 12x + 18y - 3z - 66 = 0

b) Per compilare l'equazione di una retta passante per i punti A1 e A2 si può utilizzare la formula per l'equazione parametrica di una retta: x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct dove a, b e c sono le coordinate del vettore di direzione (che possono essere trovate come differenza tra le coordinate dei punti corrispondenti), e t è un parametro. Vettore di direzione: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Quindi l'equazione della retta: x = 2 + 3t y = 3 z = 5 - 12t

c) Per compilare l'equazione di una retta passante per il punto A4 e perpendicolare al piano, si può utilizzare la formula dell'equazione generale di un piano passante per il punto A4: 12x + 18y - 3z - 12D = 0 dove D è la distanza dal piano all'origine, che può essere trovata come modulo del prodotto scalare del vettore normale del piano passante per i punti A1, A2 e A3, e del vettore che collega l'origine delle coordinate con il punto A4: n = AB x AC = (12; 18; -3) OA4 = A4 - O = (4 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (4; 2; 0) D = |n * OA4| / |n| = (124 + 182 - 30) / √(12^2 + 18^2 + (-3)^2) ≈ 4.49 Quindi puoi sostituire le coordinate del punto A4 e il vettore normale nell'equazione del piano: 12x + 18y - 3z - 124.49 ≈ 0

d) Per trovare il vettore direzione della retta A3N parallela alla retta A1A2, si può prendere il vettore AB: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Poiché la retta A3N è parallela al vettore AB, allora la sua equazione può essere scritta come equazione parametrica: x = 1 + 3t y = 2 z = 7 - 12t

e) Per creare un'equazione per un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea passante per i punti A1 e A2, è necessario trovare il prodotto vettoriale del vettore AB e del vettore che collega il punto A4 e la linea A1A2: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) A4B = B - A4 = (5 - 4; 3 - 2; -7 - 0) = (1; 1; -7) n = AB x A4B = (0 - (-12); 7 - (-21); 2 - 0) = (12; 28; 2) Ora puoi sostituire le coordinate del punto A4 e il vettore normale in l'equazione del piano: 12x + 28y + 2z - (124 + 282 + 2*0) = 0

f) Per trovare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano passante per i punti A1, A2 e A3 si può utilizzare la formula: sin α = |(n * AB)| / (|n| * |AB|) dove n è il vettore normale del piano, AB è il vettore direzione della retta A1A4. Vettore direzione della retta A1A4: A4A1 = A1 - A4 = (2 - 4; 3 - 2; 5 - 0) = (-2; 1; 5) Allora il seno dell'angolo sarà uguale a: sin α = | (n*AB)| / (|n| * |AB|) = |(12*-2 + 281 + 25)| / (√(12^2 + 28^2 + 2^2) * √((-2)^2 + 1^2 + 5^2)) ≈ 0.347

g) Per trovare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano passante per i punti A1, A2 e A3 si può utilizzare la formula: cos α = |(n * P)| / (|n| * |P|) dove n è il vettore normale del piano, P è il vettore,

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