Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opción 23

N° 1.23. Dados cuatro puntos A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Es necesario: a) crear una ecuación del plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3; b) componer una ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A1 y A2; c) crear una ecuación para una línea recta que pasa por el punto A4 y perpendicular al plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3; d) crear una ecuación de la recta A3N paralela a la recta A1A2; e) componer una ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta que pasa por los puntos A1 y A2. También es necesario calcular: e) el seno del ángulo formado por la recta A1A4 y el plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3; g) coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3.

Solución: a) Para compilar la ecuación de un plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3, se puede utilizar la fórmula de ecuación general de un plano: Ax + By + Cz + D = 0 donde A, B y C son los coeficientes de la ecuación, y D es el término libre. El primer paso es encontrar los vectores AB y AC: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) AC = C - A = (1 - 2; 2 - 3; 7 - 5) = (-1; -1; 2) Luego puedes encontrar el producto vectorial de los vectores AB y AC: n = AB x AC = (0 - (-12); 12 - (-6); (- 3) - 0) = (12; 18; -3) Ahora puedes sustituir las coordenadas de cualquiera de los puntos (por ejemplo, A1) y el vector normal en la ecuación del plano: 12x + 18 años - 3z - 66 = 0

b) Para compilar la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A1 y A2, puede utilizar la fórmula de la ecuación paramétrica de una línea recta: x = x1 + en y = y1 + bt z = z1 + ct donde a, b yc son las coordenadas del vector de dirección (se pueden encontrar como la diferencia entre las coordenadas de los puntos correspondientes), y t es un parámetro. Vector director: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Entonces la ecuación de la recta: x = 2 + 3t y = 3 z = 5 - 12 toneladas

c) Para compilar la ecuación de una recta que pasa por el punto A4 y perpendicular al plano, se puede utilizar la fórmula de la ecuación general de un plano que pasa por el punto A4: 12x + 18y - 3z - 12D = 0 donde D es el distancia del plano al origen, que se puede encontrar como el módulo del producto escalar del vector normal del plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3, y el vector que conecta el origen de coordenadas con el punto A4: n = AB x AC = (12; 18; -3) OA4 = A4 - O = (4 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (4; 2; 0) D = |n * OA4| / |norte| = (124 + 182 - 30) / √(12^2 + 18^2 + (-3)^2) ≈ 4.49 Luego puedes sustituir las coordenadas del punto A4 y el vector normal en la ecuación del plano: 12x + 18y - 3z - 124.49 ≈ 0

d) Para encontrar el vector director de la recta A3N paralela a la recta A1A2, se puede tomar el vector AB: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Dado que la recta A3N es paralela al vector AB, entonces su ecuación se puede escribir como una ecuación paramétrica: x = 1 + 3t y = 2 z = 7 - 12t

e) Para crear una ecuación para un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A1 y A2, es necesario encontrar el producto vectorial del vector AB y el vector que conecta el punto A4 y la recta A1A2: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) A4B = B - A4 = (5 - 4; 3 - 2; -7 - 0) = (1; 1; -7) n = AB x A4B = (0 - (-12); 7 - (-21); 2 - 0) = (12; 28; 2) Ahora puedes sustituir las coordenadas del punto A4 y el vector normal en la ecuación del plano: 12x + 28y + 2z - (124 + 282 + 2*0) = 0

f) Para encontrar el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3, puedes usar la fórmula: sin α = |(n * AB)| / (|n| * |AB|) donde n es el vector normal del plano, AB es el vector director de la recta A1A4. Vector director de la recta A1A4: A4A1 = A1 - A4 = (2 - 4; 3 - 2; 5 - 0) = (-2; 1; 5) Entonces el seno del ángulo será igual a: sen α = | (norte * AB)| / (|n| * |AB|) = |(12*-2 + 281 + 25)| / (√(12^2 + 28^2 + 2^2) * √((-2)^2 + 1^2 + 5^2)) ≈ 0.347

g) Para encontrar el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3, puedes utilizar la fórmula: cos α = |(n * P)| / (|n| * |P|) donde n es el vector normal del plano, P es el vector,

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