Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 23

Nr. 1.23. Gegeben sind vier Punkte A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Es ist notwendig: a) eine Gleichung der Ebene zu erstellen, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft; b) eine Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft; c) Erstellen Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zu der Ebene steht, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft; d) Erstellen Sie eine Gleichung der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2; e) Stellen Sie eine Gleichung einer Ebene auf, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zu der Linie ist, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft. Es ist außerdem erforderlich, Folgendes zu berechnen: f) den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft; g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft.

Lösung: a) Um die Gleichung einer Ebene zu erstellen, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft, können Sie die Formel für die allgemeine Gleichung einer Ebene verwenden: Ax + By + Cz + D = 0, wobei A, B und C die sind Koeffizienten der Gleichung und D ist der freie Term. Der erste Schritt besteht darin, die Vektoren AB und AC zu finden: AB = B – A = (5 – 2; 3 – 3; –7 – 5) = (3; 0; –12) AC = C – A = (1 – 2; 2 - 3; 7 - 5) = (-1; -1; 2) Dann können Sie das Vektorprodukt der Vektoren AB und AC ermitteln: n = AB x AC = (0 - (-12); 12 - (-6); (- 3) - 0) = (12; 18; -3) Jetzt können Sie die Koordinaten eines beliebigen Punktes (z. B. A1) und den Normalenvektor in die Gleichung der Ebene einsetzen: 12x + 18y - 3z - 66 = 0

b) Um die Gleichung einer geraden Linie zu erstellen, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft, können Sie die Formel für die parametrische Gleichung einer geraden Linie verwenden: x = x1 + bei y = y1 + bt z = z1 + ct wobei a, b und c sind die Koordinaten des Richtungsvektors (kann als Differenz zwischen den Koordinaten der entsprechenden Punkte ermittelt werden) und t ist ein Parameter. Richtungsvektor: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Dann ist die Gleichung der Geraden: x = 2 + 3t y = 3 z = 5 - 12t

c) Um die Gleichung einer Geraden zu erstellen, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Ebene verläuft, können Sie die Formel für die allgemeine Gleichung einer Ebene verwenden, die durch Punkt A4 verläuft: 12x + 18y – 3z – 12D = 0, wobei D die ist Abstand von der Ebene zum Ursprung, der als Modul des Skalarprodukts des Normalenvektors der durch die Punkte A1, A2 und A3 verlaufenden Ebene und des Vektors ermittelt werden kann, der den Koordinatenursprung mit Punkt A4 verbindet: n = AB x AC = (12; 18; -3) OA4 = A4 - O = (4 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (4; 2; 0) D = |n * OA4| / |n| = (124 + 182 - 30) / √(12^2 + 18^2 + (-3)^2) ≈ 4,49 Dann können Sie die Koordinaten von Punkt A4 und den Normalenvektor in die Gleichung der Ebene einsetzen: 12x + 18y - 3z - 124.49 ≈ 0

d) Um den Richtungsvektor der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2 zu finden, können Sie den Vektor AB nehmen: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) Da die Gerade A3N parallel zum Vektor AB ist, kann ihre Gleichung als parametrische Gleichung geschrieben werden: x = 1 + 3t y = 2 z = 7 - 12t

e) Um eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zu der Linie verläuft, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft, müssen Sie das Vektorprodukt des Vektors AB und des Vektors ermitteln, der Punkt A4 und Linie A1A2 verbindet: AB = B – A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) A4B = B - A4 = (5 - 4; 3 - 2; -7 - 0) = (1; 1; -7) n = AB x A4B = (0 - (-12); 7 - (-21); 2 - 0) = (12; 28; 2) Jetzt können Sie die Koordinaten von Punkt A4 und den Normalenvektor einsetzen die Ebenengleichung: 12x + 28y + 2z - (124 + 282 + 2*0) = 0

f) Um den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der durch die Punkte A1, A2 und A3 verlaufenden Ebene zu ermitteln, können Sie die Formel verwenden: sin α = |(n * AB)| / (|n| * |AB|) wobei n der Normalenvektor der Ebene und AB der Richtungsvektor der Geraden A1A4 ist. Richtungsvektor der Geraden A1A4: A4A1 = A1 - A4 = (2 - 4; 3 - 2; 5 - 0) = (-2; 1; 5) Dann ist der Sinus des Winkels gleich: sin α = | (n * AB)| / (|n| * |AB|) = |(12*-2 + 281 + 25)| / (√(12^2 + 28^2 + 2^2) * √((-2)^2 + 1^2 + 5^2)) ≈ 0.347

g) Um den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der durch die Punkte A1, A2 und A3 verlaufenden Ebene zu ermitteln, können Sie die Formel verwenden: cos α = |(n * P)| / (|n| * |P|) wobei n der Normalenvektor der Ebene ist, P der Vektor ist,

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