里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 选项 23

第 1.23 号。给定四个点 A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0)。需要：a）建立经过A1、A2、A3点的平面方程； b) 建立经过A1、A2点的直线方程； c) 创建穿过点 A4 并垂直于穿过点 A1、A2 和 A3 的平面的直线方程； d) 创建与直线 A1A2 平行的直线 A3N 的方程； e) 建立穿过点A4并垂直于穿过点A1和A2的直线的平面方程。还需计算： f) 直线A1A4与经过A1、A2、A3点的平面所成角度的正弦； g) 坐标平面Oxy与经过点A1、A2和A3的平面之间的夹角的余弦。

解： a) 要编制经过 A1、A2、A3 点的平面方程，可以使用平面一般方程的公式： Ax + By + Cz + D = 0 其中 A、B、C 分别为方程的系数，D 是自由项。第一步是找到向量 AB 和 AC： AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) AC = C - A = (1 - 2; 2 - 3; 7 - 5) = (-1; -1; 2) 然后你可以找到向量 AB 和 AC 的向量积： n = AB x AC = (0 - (-12); 12 - (-6); (- 3) - 0) = (12; 18; -3) 现在您可以将任意点的坐标（例如 A1）和法向量代入平面方程：12x + 18y - 3z - 66 = 0

b) 要编写经过点 A1 和 A2 的直线方程，可以使用直线参数方程的公式： x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct 其中 a, b c是方向向量的坐标（可以通过对应点的坐标之差求得），t是参数。方向向量：AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) 则直线方程： x = 2 + 3t y = 3 z = 5-12吨

c) 要编写穿过 A4 点并垂直于平面的直线方程，可以使用穿过 A4 点的平面一般方程的公式： 12x + 18y - 3z - 12D = 0 其中 D 是平面到原点的距离，可由通过点 A1、A2 和 A3 的平面法向量与连接坐标原点与点 A4 的向量的标量积的模求得：n = AB x AC = (12; 18; -3) OA4 = A4 - O = (4 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (4; 2; 0) D = |n * OA4| / |n| = (124 + 182 - 30) / √(12^2 + 18^2 + (-3)^2) ≈ 4.49 那么可以将A4点的坐标和法向量代入平面方程： 12x + 18y - 3z - 124.49 ≈ 0

d) 求与直线A1A2平行的直线A3N的方向向量，可取向量AB： AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) 由于直线 A3N 与向量 AB 平行，因此其方程可以写成参数方程： x = 1 + 3t y = 2 z = 7 - 12t

e) 要创建穿过点 A4 并垂直于穿过点 A1 和 A2 的直线的平面方程，您需要找到矢量 AB 与连接点 A4 和直线 A1A2 的矢量的矢量积： AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) A4B = B - A4 = (5 - 4; 3 - 2; -7 - 0) = (1; 1; -12) -7) n = AB x A4B = (0 - (-12); 7 - (-21); 2 - 0) = (12; 28; 2) 现在您可以将 A4 点的坐标和法向量代入平面方程：12x + 28y + 2z - (124 + 282 + 2*0) = 0

f) 要求直线 A1A4 与经过 A1、A2、A3 点的平面之间的夹角的正弦值，可以使用公式：sin α = |(n * AB)| / (|n| * |AB|) 其中n为平面法向量，​​AB为直线A1A4的方向向量。直线 A1A4 的方向向量： A4A1 = A1 - A4 = (2 - 4; 3 - 2; 5 - 0) = (-2; 1; 5) 那么角度的正弦将等于： sin α = | (n * AB)| / (|n| * |AB|) = |(12*-2 + 281 + 25)| / (√(12^2 + 28^2 + 2^2) * √((-2)^2 + 1^2 + 5^2)) ≈ 0.347

g) 求坐标平面 Oxy 与经过点 A1、A2、A3 的平面之间的夹角的余弦，可以使用公式： cos α = |(n * P)| / (|n| * |P|) 其中 n 是平面法向量，​​P 是向量，

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