リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 オプション 23

1.23号。 4 つの点 A1(2;3;5) が与えられるとします。 A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0)。次のことが必要です。 a) 点A1、A2、およびA3を通過する平面の方程式を作成します。 b) 点 A1 と A2 を通る直線の方程式を作成します。 ｃ）点Ａ４を通り、点Ａ１、Ａ２、Ａ３を通る平面に垂直な直線の方程式を作成する。 d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方程式を作成します。 e) 点 A4 を通過し、点 A1 と A2 を通過する線に垂直な平面の方程式を作成します。 f) 直線 A1A4 と点 A1、A2、および A3 を通過する平面との間の角度の正弦。 g) 座標平面 Oxy と点 A1、A2、および A3 を通過する平面との間の角度の余弦。

解決策: a) 点 A1、A2、および A3 を通過する平面の方程式をコンパイルするには、平面の一般方程式の公式を使用できます: Ax + By + Cz + D = 0 ここで、A、B、C はは方程式の係数であり、D は自由項です。最初のステップは、ベクトル AB と AC を見つけることです: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) AC = C - A = (1 - 2; 2 - 3; 7 - 5) = (-1; -1; 2) 次に、ベクトル AB と AC のベクトル積を求めることができます: n = AB x AC = (0 - (-12); 12 - (-6); (- 3) - 0) = (12; 18; -3) これで、任意の点 (A1 など) の座標と法線ベクトルを平面の方程式に代入できます: 12x + 18y - 3z - 66 = 0

b) 点 A1 と A2 を通過する直線の方程式をコンパイルするには、直線のパラメトリック方程式の公式を使用できます: x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct ここで、a, bおよび c は方向ベクトルの座標 (対応する点の座標間の差として求めることができます)、t はパラメーターです。方向ベクトル: AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) 次に、直線の方程式: x = 2 + 3t y = 3 z = 5～12t

c) 点 A4 を通過し、平面に垂直な線の方程式をコンパイルするには、点 A4 を通過する平面の一般方程式の公式を使用できます: 12x + 18y - 3z - 12D = 0 ここで、D は平面から原点までの距離。点 A1、A2、A3 を通る平面の法線ベクトルと、座標の原点と点 A4 を結ぶベクトルの内積の係数として求められます。 n = AB x AC = (12; 18; -3) OA4 = A4 - O = (4 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (4; 2; 0) D = |n * OA4| / |n| = (124 + 182 - 30) / √(12^2 + 18^2 + (-3)^2) ≈ 4.49 次に、点 A4 の座標と法線ベクトルを平面の方程式に代入できます: 12x + 18y - 3z - 124.49 ≈ 0

d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方向ベクトルを求めるには、ベクトル AB を取得します。 AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) 直線 A3N はベクトル AB に平行であるため、その方程式はパラメトリック方程式として書くことができます: x = 1 + 3t y = 2 z = 7 - 12t

e) 点 A4 を通過し、点 A1 と A2 を通過する線に垂直な平面の方程式を作成するには、ベクトル AB と、点 A4 と線 A1A2 を結ぶベクトルのベクトル積を見つける必要があります。 AB = B - A = (5 - 2; 3 - 3; -7 - 5) = (3; 0; -12) A4B = B - A4 = (5 - 4; 3 - 2; -7 - 0) = (1; 1; -12) -7) n = AB x A4B = (0 - (-12); 7 - (-21); 2 - 0) = (12; 28; 2) これで、点 A4 の座標と法線ベクトルを次のように代入できます。平面方程式: 12x + 28y + 2z - (124 + 282 + 2*0) = 0

f) 直線 A1A4 と点 A1、A2、および A3 を通過する平面との間の角度の正弦を求めるには、次の式を使用できます。 sin α = |(n * AB)| / (|n| * |AB|) ここで、n は平面の法線ベクトル、AB は直線 A1A4 の方向ベクトルです。直線 A1A4 の方向ベクトル: A4A1 = A1 - A4 = (2 - 4; 3 - 2; 5 - 0) = (-2; 1; 5) この場合、角度のサインは次のようになります。 (n * AB)| / (|n| * |AB|) = |(12*-2 + 281 + 25)| / (√(12^2 + 28^2 + 2^2) * √((-2)^2 + 1^2 + 5^2)) ≈ 0.347

g) 座標平面 Oxy と、点 A1、A2、および A3 を通過する平面との間の角度の余弦を求めるには、次の式を使用できます。 cos α = |(n * P)| / (|n| * |P|) ここで、n は平面の法線ベクトル、P はベクトル、

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