Solução para o problema 9.2.7 da coleção de Kepe O.E.

9.2.7 O tambor do guincho 1 gira com velocidade angular? = 6rad/s. Determine a velocidade angular do tubo levantado 2 se a razão dos raios r/R = 2/3. (Resposta 1.5)

O problema fornece o valor da velocidade angular do tambor do guincho 1 (? = 6 rad/s) e a razão dos raios r/R = 2/3. É necessário encontrar a velocidade angular do tubo levantado 2.

Para resolver o problema, utilizaremos a lei da conservação do momento angular, segundo a qual o momento angular de um sistema fechado permanece inalterado na ausência de momentos externos.

O momento angular do tambor do guincho 1 é igual ao momento angular do tubo 2 após o início de sua interação. Vamos denotar o momento angular do tambor e do tubo como L1 e L2, respectivamente, e seus raios como r1 e r2.

Como o tambor do guincho 1 e o tubo 2 giram em torno de um eixo que passa pelos centros de suas bases, suas velocidades lineares nas extremidades são iguais. Portanto, podemos escrever a equação do momento angular:

L1 = L2

r1 * m1 * v1 = r2 * m2 * v2,

onde m1 e m2 são as massas do tambor e do tubo, respectivamente, v1 e v2 são as velocidades lineares nas extremidades do tambor e do tubo, respectivamente.

Como a razão dos raios r/R = 2/3, podemos escrever:

r1 = (2/3)R, r2 = R.

Então a equação do momento angular assumirá a forma:

(2/3)R * m1 * v1 = R * m2 * v2.

Expressando v2, obtemos:

v2 = (2/3) * (m1/m2) * v1.

A velocidade angular do tubo 2 será igual à razão entre a velocidade linear e seu raio:

ω2 = v2 / R = (2/3) * (m1/m2) * v1 / R.

Usando a lei da conservação do momento angular e os dados das condições do problema, obtemos:

L1 = L2 => r1 * m1 * ω1 = r2 * m2 * ω2 => (2/3)R * m1 * 6 = R * m2 * ω2,

onde

ω2 = (2/3) * (m1/m2) * 6 = 1,5 rad/s.

Assim, a velocidade angular do tubo levantado 2 é de 1,5 rad/s.

Solução do problema 9.2.7 da coleção de Kepe O.?.

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