Soluzione al problema 9.2.7 dalla collezione di Kepe O.E.

9.2.7 Il tamburo del verricello 1 ruota con velocità angolare? = 6 rad/s. Determinare la velocità angolare del tubo sollevato 2 se il rapporto del raggio r/R = 2/3. (Risposta 1.5)

Il problema fornisce il valore della velocità angolare del tamburo del verricello 1 (? = 6 rad/s) e il rapporto del raggio r/R = 2/3. È necessario trovare la velocità angolare del tubo sollevato 2.

Per risolvere il problema utilizzeremo la legge di conservazione del momento angolare, secondo la quale il momento angolare di un sistema chiuso rimane invariato in assenza di momenti esterni.

Il momento angolare del tamburo del verricello 1 è uguale al momento angolare del tubo 2 dopo l'inizio della loro interazione. Indichiamo il momento angolare del tamburo e del tubo rispettivamente come L1 e L2, e i loro raggi come r1 e r2.

Poiché il tamburo 1 e il tubo 2 del verricello ruotano attorno ad un asse passante per i centri delle loro basi, le loro velocità lineari alle estremità sono uguali. Possiamo quindi scrivere l’equazione del momento angolare:

L1 = L2

r1 * m1 * v1 = r2 * m2 * v2,

dove m1 e m2 sono rispettivamente le masse del tamburo e del tubo, v1 e v2 sono le velocità lineari rispettivamente alle estremità del tamburo e del tubo.

Poiché il rapporto dei raggi r/R = 2/3, possiamo scrivere:

r1 = (2/3)R, r2 = R.

Quindi l’equazione del momento angolare assumerà la forma:

(2/3)R * m1 * v1 = R * m2 * v2.

Esprimendo v2, otteniamo:

v2 = (2/3) * (m1/m2) * v1.

La velocità angolare del tubo 2 sarà uguale al rapporto tra la velocità lineare e il suo raggio:

ω2 = v2 / R = (2/3) * (m1/m2) * v1 / R.

Utilizzando la legge di conservazione del momento angolare e i dati delle condizioni problematiche, otteniamo:

L1 = L2 => r1 * m1 * ω1 = r2 * m2 * ω2 => (2/3)R * m1 * 6 = R * m2 * ω2,

Dove

ω2 = (2/3) * (m1/m2) * 6 = 1,5 rad/s.

Pertanto, la velocità angolare del tubo sollevato 2 è di 1,5 rad/s.

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