Solución al problema 9.2.7 de la colección de Kepe O.E.

9.2.7 ¿El tambor 1 del cabrestante gira con velocidad angular? = 6 rad/s. Determine la velocidad angular del tubo elevado 2 si la relación de radio r/R = 2/3. (Respuesta 1.5)

El problema da el valor de la velocidad angular del tambor del cabrestante 1 (? = 6 rad/s) y la relación de radio r/R = 2/3. Es necesario encontrar la velocidad angular del tubo elevado 2.

Para resolver el problema utilizaremos la ley de conservación del momento angular, según la cual el momento angular de un sistema cerrado permanece sin cambios en ausencia de momentos externos.

El momento angular del tambor del cabrestante 1 es igual al momento angular del tubo 2 después del inicio de su interacción. Denotaremos el momento angular del tambor y del tubo como L1 y L2, respectivamente, y sus radios como r1 y r2.

Dado que el tambor del cabrestante 1 y el tubo 2 giran alrededor de un eje que pasa por los centros de sus bases, sus velocidades lineales en los extremos son iguales. Por tanto, podemos escribir la ecuación del momento angular:

L1 = L2

r1 * m1 * v1 = r2 * m2 * v2,

donde m1 y m2 son las masas del tambor y del tubo, respectivamente, v1 y v2 son las velocidades lineales en los extremos del tambor y del tubo, respectivamente.

Como la relación de radios r/R = 2/3, podemos escribir:

r1 = (2/3)R, r2 = R.

Entonces la ecuación del momento angular tomará la forma:

(2/3)R * m1 * v1 = R * m2 * v2.

Expresando v2, obtenemos:

v2 = (2/3) * (m1/m2) * v1.

La velocidad angular del tubo 2 será igual a la relación entre la velocidad lineal y su radio:

ω2 = v2 / R = (2/3) * (m1/m2) * v1 / R.

Utilizando la ley de conservación del momento angular y datos de las condiciones del problema, obtenemos:

L1 = L2 => r1 * m1 * ω1 = r2 * m2 * ω2 => (2/3)R * m1 * 6 = R * m2 * ω2,

dónde

ω2 = (2/3) * (m1/m2) * 6 = 1,5 rad/s.

Por tanto, la velocidad angular del tubo elevado 2 es de 1,5 rad/s.

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