Solution au problème 9.2.7 de la collection Kepe O.E.

9.2.7 Le tambour du treuil 1 tourne avec une vitesse angulaire ? = 6 rad/s. Déterminez la vitesse angulaire du tuyau soulevé 2 si le rapport des rayons r/R = 2/3. (Réponse 1.5)

Le problème donne la valeur de la vitesse angulaire du tambour du treuil 1 (? = 6 rad/s) et le rapport de rayon r/R = 2/3. Il faut trouver la vitesse angulaire du tuyau soulevé 2.

Pour résoudre le problème, nous utiliserons la loi de conservation du moment cinétique, selon laquelle le moment cinétique d'un système fermé reste inchangé en l'absence de moments extérieurs.

Le moment cinétique du tambour du treuil 1 est égal au moment cinétique des tuyaux 2 après le début de leur interaction. Notons le moment cinétique du tambour et du tuyau par L1 et L2, respectivement, et leurs rayons par r1 et r2.

Puisque le tambour du treuil 1 et le tuyau 2 tournent autour d'un axe passant par les centres de leurs bases, leurs vitesses linéaires aux extrémités sont égales. Par conséquent, nous pouvons écrire l’équation du moment cinétique :

L1 = L2

r1 * m1 * v1 = r2 * m2 * v2,

où m1 et m2 sont respectivement les masses du tambour et du tuyau, v1 et v2 sont les vitesses linéaires aux extrémités du tambour et du tuyau, respectivement.

Puisque le rapport des rayons r/R = 2/3, on peut écrire :

r1 = (2/3)R, r2 = R.

L’équation du moment cinétique prendra alors la forme :

(2/3)R * m1 * v1 = R * m2 * v2.

En exprimant v2, on obtient :

v2 = (2/3) * (m1/m2) * v1.

La vitesse angulaire du tuyau 2 sera égale au rapport de la vitesse linéaire sur son rayon :

ω2 = v2 / R = (2/3) * (m1/m2) * v1 / R.

En utilisant la loi de conservation du moment cinétique et les données des conditions du problème, nous obtenons :

L1 = L2 => r1 * m1 * ω1 = r2 * m2 * ω2 => (2/3)R * m1 * 6 = R * m2 * ω2,

où

ω2 = (2/3) * (m1/m2) * 6 = 1,5 rad/s.

Ainsi, la vitesse angulaire du tuyau soulevé 2 est de 1,5 rad/s.

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