Lösung zu Aufgabe 9.2.7 aus der Sammlung von Kepe O.E.

9.2.7 Windentrommel 1 dreht sich mit Winkelgeschwindigkeit? = 6 rad/s. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit des angehobenen Rohrs 2, wenn das Radiusverhältnis r/R = 2/3 ist. (Antwort 1.5)

Das Problem gibt den Wert der Winkelgeschwindigkeit der Windentrommel 1 (? = 6 rad/s) und das Radiusverhältnis r/R = 2/3 an. Es ist notwendig, die Winkelgeschwindigkeit des angehobenen Rohrs 2 zu ermitteln.

Um das Problem zu lösen, verwenden wir den Drehimpulserhaltungssatz, nach dem der Drehimpuls eines geschlossenen Systems ohne äußere Momente unverändert bleibt.

Der Drehimpuls der Windentrommel 1 ist nach Beginn ihrer Wechselwirkung gleich dem Drehimpuls des Rohres 2. Bezeichnen wir den Drehimpuls der Trommel und des Rohrs mit L1 bzw. L2 und ihre Radien mit r1 und r2.

Da sich Windentrommel 1 und Rohr 2 um eine Achse drehen, die durch die Mittelpunkte ihrer Basis verläuft, sind ihre linearen Geschwindigkeiten an den Enden gleich. Daher können wir die Gleichung für den Drehimpuls schreiben:

L1 = L2

r1 * m1 * v1 = r2 * m2 * v2,

Dabei sind m1 und m2 die Massen der Trommel bzw. des Rohrs, v1 und v2 die linearen Geschwindigkeiten an den Enden der Trommel bzw. des Rohrs.

Da das Verhältnis der Radien r/R = 2/3 ist, können wir schreiben:

r1 = (2/3)R, r2 = R.

Dann nimmt die Gleichung für den Drehimpuls die Form an:

(2/3)R * m1 * v1 = R * m2 * v2.

Wenn wir v2 ausdrücken, erhalten wir:

v2 = (2/3) * (m1/m2) * v1.

Die Winkelgeschwindigkeit von Rohr 2 entspricht dem Verhältnis der Lineargeschwindigkeit zu seinem Radius:

ω2 = v2 / R = (2/3) * (m1/m2) * v1 / R.

Unter Verwendung des Drehimpulserhaltungssatzes und Daten aus den Problembedingungen erhalten wir:

L1 = L2 => r1 * m1 * ω1 = r2 * m2 * ω2 => (2/3)R * m1 * 6 = R * m2 * ω2,

Wo

ω2 = (2/3) * (m1/m2) * 6 = 1,5 rad/s.

Somit beträgt die Winkelgeschwindigkeit des angehobenen Rohrs 2 1,5 rad/s.

Lösung zu Aufgabe 9.2.7 aus der Sammlung von Kepe O.?.

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