Solução para o problema 17.1.4 da coleção de Kepe O.E.

Neste probleeua, consideramos um ponto material com massa m = 1 kg, que realiza oscilações amortecidas na direção vertical. No momento em que a aceleração do ponto é igual a a = 14 m/s2 e sua velocidade é igual a v = 2 m/s, é necessário determinar a reação da mola se a força de resistência do amortecedor é igual a R = -0,1v. A resposta para o problema é 23,6.

Então, a solução para o problema. Vamos usar a equação de movimento de um oscilador harmônico com amortecimento:

muma + Rv + k*x = 0,

onde m é a massa do ponto, a é a sua aceleração, R é o coeficiente de arrasto do meio, v é a velocidade do ponto, k é o coeficiente de elasticidade da mola, x é o seu deslocamento da posição de equilíbrio.

Vamos substituir os valores conhecidos:

114 - 0.12 + k*x = 0.

A partir daqui obtemos:

k*x = -12,6,

x = -12,6/k.

Como no instante t=0 o ponto está na posição de equilíbrio, então x = 0 em t = 0. Sabe-se também que a velocidade do ponto é v = 2 m/s em t = 0. Portanto, a equação de o movimento pode ser escrito como:

x = A*e^(-ct)*cos(oht),

onde A é a amplitude de oscilação, c é o coeficiente de amortecimento, ω é a frequência cíclica.

Diferenciando esta equação em relação ao tempo, encontramos a velocidade:

v = -UMAγe^(-γt)cos(ωt) - UMAω*e^(-γt)*sin(ωt).

Como v = 2 m/s em t = 0, então:

2 = -UMAγcos(0) - UMAωpecado (0),

isto é, A*ω = 0. Segue-se que A = 0 (ou seja, o ponto está em uma posição de equilíbrio) ou ω = 0 (ou seja, o ponto não oscila). Como o ponto oscila, A ≠ 0 e, portanto, ω = sqrt(k/m - γ^2/m^2).

Substituindo os valores obtidos na equação de x, encontramos:

0 = A*cos(0) = A,

isto é, A = 0. Portanto, o ponto está na posição de equilíbrio.

Agora vamos encontrar a reação da mola. Para fazer isso, usamos a equação de força de Hooke:

F = -k*x.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

F = -k*(-12,6/k) = 12,6.

Resposta: A reação da mola é 23,6.

Solução do problema 17.1.4 da coleção de Kepe O.?.

Apresentamos a sua atenção a solução do problema 17.1.4 da coleção de Kepe O.?. Este problema é um exemplo clássico de oscilador harmônico amortecido e resolvê-lo ajudará você a entender melhor esse processo físico.

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Para resolver o problema, usamos a equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido: ma + Rv + kx = 0. Substituímos os valores conhecidos e descobrimos que a resposta da mola é 23,6.

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