É necessário determinar a aceleração normal de um ponto em um determinado momento, desde que a aceleração do ponto seja 1,5 m/s² e o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade seja 65°. Arredonde sua resposta para duas casas decimais.
Responder:
Sabe-se que o produto vetorial da velocidade e da aceleração de um ponto é igual à projeção da aceleração na direção do raio de curvatura:
$$\vec{v} \times \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e}_t) = \frac{ dv}{dt}\vec{e}_t + v\frac{d\vec{e}_t}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + v^2\vec{e }_n,$$
onde $\vec{e}_t$ e $\vec{e}_n$ são os vetores unitários tangente e normal à curva, respectivamente.
A aceleração normal de um ponto é definida como o módulo do vetor do raio de curvatura multiplicado pelo quadrado da velocidade:
$$a_n = |\vec{a}_n| = \frac{|\vec{v} \times \vec{a}|}{v^2}.$$
A partir das condições do problema, são conhecidas a aceleração do ponto e o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade:
$$a = 1,5\m/s^2,$$
$$\theta = 65^{\circ}.$$
Portanto, a aceleração de um ponto pode ser decomposta em tangente e normal:
$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n,$$
onde $\vec{a}_t$ e $\vec{a}_n$ são as acelerações tangencial e normal, respectivamente.
O ângulo entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{v}$ é igual a $90^{\circ} - \theta$, portanto, a projeção da aceleração na direção do raio de curvatura:
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1,5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \approx ,36\ m/с^2.$$
Assim, a aceleração normal de um ponto num determinado instante é de aproximadamente 1,36 m/s².
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Apresentamos a sua atenção a solução do problema 7.8.4 da coleção de Kepe O.?. em física.
Primeiro, vamos calcular a projeção da aceleração na direção do raio de curvatura usando a fórmula:
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1,5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \approx ,36\ m/с^2.$$
Então calculamos a aceleração normal de um ponto em um determinado momento usando a fórmula:
$$a_n = |\vec{a}_n| /v^2,$$
onde $v$ é a velocidade do ponto. A velocidade do ponto é desconhecida, portanto não podemos calcular a resposta exata. A resposta só pode ser obtida se o valor da velocidade do ponto num determinado momento for conhecido.
Assim, a resposta ao problema depende do valor da velocidade do ponto, que é desconhecido. Mas se a velocidade do ponto for conhecida, então a aceleração normal do ponto pode ser calculada usando as fórmulas indicadas.
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Problema 7.8.4 da coleção de Kepe O.?. é formulado da seguinte forma:
É necessário determinar a aceleração normal de um ponto no momento em que a aceleração do ponto é $a = 1,5$ m/s$^2$, e o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade é $65^\circ $. A resposta para o problema é $ 1,36 $.
Para resolver o problema, você pode usar a fórmula para calcular a aceleração normal de um ponto:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho},$$
onde $a_n$ é a aceleração normal, $v$ é a velocidade do ponto e $\rho$ é o raio de curvatura da trajetória do ponto.
Para calcular o raio de curvatura da trajetória de um ponto, deve-se utilizar a fórmula:
$$\rho = \frac{v^2}{a},$$
onde $a$ é a aceleração centrípeta do ponto.
Pelas condições do problema sabemos a aceleração do ponto $a = 1,5$ m/s$^2$, portanto a aceleração centrípeta é igual a:
$$a_c = a \cos \theta = 1,5 \cos 65^\circ \aprox 0,604$$
onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade.
Para calcular a velocidade de um ponto, você pode usar a fórmula:
$$v = \frac{v_0}{\cos \theta},$$
onde $v_0$ é a velocidade inicial do ponto.
A velocidade inicial do ponto é desconhecida, mas você pode notar que o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade é igual a $65^\circ$, o que significa que o ângulo entre os vetores velocidade e o vetor raio do ponto é igual a $90^\circ - 65^\circ = 25^\circ $. Portanto, você pode usar a fórmula para a projeção da velocidade no vetor raio:
$$v_0 = v \cos (90^\circ - \theta) = v \sin \theta.$$
Assim, a velocidade inicial do ponto é:
$$v_0 = v \sin \theta = \frac{a}{\cos \theta} \sin \theta = a \tan \theta.$$
Substituindo as expressões resultantes para $a_c$ e $v_0$ na fórmula do raio de curvatura da trajetória, obtemos:
$$\rho = \frac{v^2}{a} = \frac{(a \tan \theta)^2}{a} = a \tan^2 \theta.$$
Resta substituir as expressões $a$ e $\rho$ na fórmula da aceleração normal:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho} = \frac{(a/\cos \theta)^2}{a \tan^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 65^\circ \cos^2 65^\circ} \aprox 1,36.$$
Assim, a resposta para o problema é $1,36$.
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