Il est nécessaire de déterminer l'accélération normale d'un point à un instant donné, à condition que l'accélération du point soit de 1,5 m/s² et que l'angle entre les vecteurs accélération et vitesse soit de 65°. Arrondissez votre réponse à deux décimales.
Répondre:
On sait que le produit vectoriel de la vitesse et de l'accélération d'un point est égal à la projection de l'accélération sur la direction du rayon de courbure :
$$\vec{v} \times \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e}_t) = \frac{ dv}{dt}\vec{e}_t + v\frac{d\vec{e}_t}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + v^2\vec{e }_n,$$
où $\vec{e}_t$ et $\vec{e}_n$ sont respectivement les vecteurs unitaires tangents et normaux à la courbe.
L'accélération normale d'un point est définie comme le module du vecteur du rayon de courbure multiplié par le carré de la vitesse :
$$a_n = |\vec{a}_n| = \frac{|\vec{v} \times \vec{a}|}{v^2}.$$
A partir des conditions du problème, l'accélération du point et l'angle entre les vecteurs accélération et vitesse sont connus :
$$a = 1,5\ m/s^2,$$
$$\thêta = 65^{\circ}.$$
Par conséquent, l’accélération d’un point peut être décomposée en tangente et normale :
$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n,$$
où $\vec{a}_t$ et $\vec{a}_n$ sont respectivement les accélérations tangentielles et normales.
L'angle entre les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{v}$ est égal à $90^{\circ} - \theta$, donc la projection de l'accélération sur la direction du rayon de courbure est :
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1,5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \approx,36\ м/с^2.$$
Ainsi, l'accélération normale d'un point à un instant donné est d'environ 1,36 m/s².
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Nous présentons à votre attention la solution au problème 7.8.4 de la collection de Kepe O.?. en physique.
Tout d'abord, calculons la projection de l'accélération sur la direction du rayon de courbure à l'aide de la formule :
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1,5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \approx,36\ м/с^2.$$
Ensuite, on calcule l'accélération normale d'un point à un instant donné à l'aide de la formule :
$$a_n = |\vec{a}_n| /v^2,$$
où $v$ est la vitesse du point. La vitesse du point est inconnue, nous ne pouvons donc pas calculer la réponse exacte. La réponse ne peut être obtenue que si la valeur de la vitesse du point à un instant donné est connue.
Ainsi, la réponse au problème dépend de la valeur de la vitesse du point, qui est inconnue. Mais si la vitesse du point est connue, alors l'accélération normale du point peut être calculée à l'aide des formules indiquées.
***
Problème 7.8.4 de la collection de Kepe O.?. est formulé ainsi :
Il est nécessaire de déterminer l'accélération normale d'un point au moment où l'accélération du point est $a = 1,5$ m/s$^2$, et l'angle entre les vecteurs accélération et vitesse est $65^\circ $. La réponse au problème est 1,36$.
Pour résoudre le problème, vous pouvez utiliser la formule pour calculer l'accélération normale d'un point :
$$a_n = \frac{v^2}{\rho},$$
où $a_n$ est l'accélération normale, $v$ est la vitesse du point et $\rho$ est le rayon de courbure de la trajectoire du point.
Pour calculer le rayon de courbure de la trajectoire d’un point, vous devez utiliser la formule :
$$\rho = \frac{v^2}{a},$$
où $a$ est l'accélération centripète du point.
A partir des conditions du problème on connaît l'accélération du point $a = 1,5$ m/s$^2$, donc l'accélération centripète est égale à :
$$a_c = a \cos \theta = 1,5 \cos 65^\circ \environ 0,604$$
où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs accélération et vitesse.
Pour calculer la vitesse d'un point, vous pouvez utiliser la formule :
$$v = \frac{v_0}{\cos \theta},$$
où $v_0$ est la vitesse initiale du point.
La vitesse initiale du point est inconnue, mais vous pouvez remarquer que l'angle entre les vecteurs accélération et vitesse est égal à $65^\circ$, ce qui signifie que l'angle entre les vecteurs vitesse et le rayon vecteur du point est égal à 90 $^\circ - 65^\circ = 25^\circ $. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de projection de la vitesse sur le rayon vecteur :
$$v_0 = v \cos (90^\circ - \theta) = v \sin \theta.$$
Ainsi, la vitesse initiale du point est :
$$v_0 = v \sin \theta = \frac{a}{\cos \theta} \sin \theta = a \tan \theta.$$
En substituant les expressions résultantes pour $a_c$ et $v_0$ dans la formule du rayon de courbure de la trajectoire, nous obtenons :
$$\rho = \frac{v^2}{a} = \frac{(a \tan \theta)^2}{a} = a \tan^2 \theta.$$
Il reste à substituer les expressions pour $a$ et $\rho$ dans la formule d'accélération normale :
$$a_n = \frac{v^2}{\rho} = \frac{(a/\cos \theta)^2}{a \tan^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 65^\circ \cos^2 65^\circ} \environ 1,36.$$
Ainsi, la réponse au problème est 1,36$.
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