Es ist notwendig, die Normalbeschleunigung eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, vorausgesetzt, dass die Beschleunigung des Punktes 1,5 m/s² beträgt und der Winkel zwischen den Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren 65° beträgt. Runden Sie Ihre Antwort auf zwei Dezimalstellen.
Antwort:
Es ist bekannt, dass das Vektorprodukt aus Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes gleich der Projektion der Beschleunigung auf die Richtung des Krümmungsradius ist:
$$\vec{v} \times \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e}_t) = \frac{ dv}{dt}\vec{e}_t + v\frac{d\vec{e}_t}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + v^2\vec{e }_n,$$
wobei $\vec{e}_t$ und $\vec{e}_n$ die Einheitsvektoren sind, die tangential bzw. normal zur Kurve sind.
Die Normalbeschleunigung eines Punktes ist definiert als der Modul des Vektors des Krümmungsradius multipliziert mit dem Quadrat der Geschwindigkeit:
$$a_n = |\vec{a}_n| = \frac{|\vec{v} \times \vec{a}|}{v^2}.$$
Aus den Bedingungen des Problems sind die Beschleunigung des Punktes und der Winkel zwischen den Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren bekannt:
$$a = 1,5\ m/s^2,$$
$$\theta = 65^{\circ}.$$
Daher kann die Beschleunigung eines Punktes in Tangente und Normale zerlegt werden:
$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n,$$
wobei $\vec{a}_t$ und $\vec{a}_n$ die Tangential- bzw. Normalbeschleunigungen sind.
Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{v}$ ist gleich $90^{\circ} - \theta$, daher beträgt die Projektion der Beschleunigung auf die Richtung des Krümmungsradius :
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1,5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \ approx ,36\ м/с^2.$$
Somit beträgt die normale Beschleunigung eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt etwa 1,36 m/s².
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Wir präsentieren Ihnen die Lösung für Problem 7.8.4 aus der Sammlung von Kepe O.?. in der Physik.
Berechnen wir zunächst die Projektion der Beschleunigung auf die Richtung des Krümmungsradius mit der Formel:
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1,5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \ approx ,36\ м/с^2.$$
Dann berechnen wir die Normalbeschleunigung eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Formel:
$$a_n = |\vec{a}_n| / v^2,$$
wobei $v$ die Geschwindigkeit des Punktes ist. Die Geschwindigkeit des Punktes ist unbekannt, daher können wir die genaue Antwort nicht berechnen. Die Antwort kann nur erhalten werden, wenn der Wert der Geschwindigkeit des Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt ist.
Somit hängt die Lösung des Problems vom Geschwindigkeitswert des Punktes ab, der unbekannt ist. Wenn aber die Geschwindigkeit des Punktes bekannt ist, kann die Normalbeschleunigung des Punktes mit den angegebenen Formeln berechnet werden.
***
Aufgabe 7.8.4 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:
Es ist notwendig, die Normalbeschleunigung eines Punktes zu dem Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Beschleunigung des Punktes $a = 1,5$ m/s$^2$ beträgt und der Winkel zwischen den Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren $65^\circ beträgt $. Die Antwort auf das Problem ist 1,36 $.
Um das Problem zu lösen, können Sie die Normalbeschleunigung eines Punktes mit der Formel berechnen:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho},$$
Dabei ist $a_n$ die Normalbeschleunigung, $v$ die Geschwindigkeit des Punktes und $\rho$ der Krümmungsradius der Flugbahn des Punktes.
Um den Krümmungsradius der Flugbahn eines Punktes zu berechnen, müssen Sie die Formel verwenden:
$$\rho = \frac{v^2}{a},$$
wobei $a$ die Zentripetalbeschleunigung des Punktes ist.
Aus den Bedingungen des Problems wissen wir, dass die Beschleunigung des Punktes $a = 1,5$ m/s$^2$ beträgt, daher ist die Zentripetalbeschleunigung gleich:
$$a_c = a \cos \theta = 1,5 \cos 65^\circ \ca. 0,604$$
wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren ist.
Um die Geschwindigkeit eines Punktes zu berechnen, können Sie die Formel verwenden:
$$v = \frac{v_0}{\cos \theta},$$
wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit des Punktes ist.
Die Anfangsgeschwindigkeit des Punktes ist unbekannt, aber Sie können feststellen, dass der Winkel zwischen den Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren gleich $65^\circ$ ist, was bedeutet, dass der Winkel zwischen den Geschwindigkeitsvektoren und dem Radiusvektor des Punktes gleich ist $90^\circ - 65^\circ = 25^\circ $. Daher können Sie die Formel für die Projektion der Geschwindigkeit auf den Radiusvektor verwenden:
$$v_0 = v \cos (90^\circ - \theta) = v \sin \theta.$$
Somit beträgt die Anfangsgeschwindigkeit des Punktes:
$$v_0 = v \sin \theta = \frac{a}{\cos \theta} \sin \theta = a \tan \theta.$$
Wenn wir die resultierenden Ausdrücke für $a_c$ und $v_0$ in die Formel für den Krümmungsradius der Flugbahn einsetzen, erhalten wir:
$$\rho = \frac{v^2}{a} = \frac{(a \tan \theta)^2}{a} = a \tan^2 \theta.$$
Es müssen noch die Ausdrücke für $a$ und $\rho$ in die Formel für die Normalbeschleunigung eingesetzt werden:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho} = \frac{(a/\cos \theta)^2}{a \tan^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 65^\circ \cos^2 65^\circ} \ungefähr 1,36.$$
Somit lautet die Antwort auf das Problem 1,36 $.
***
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Dank der Lösung von Aufgabe 7.8.4 habe ich den physikalischen Stoff besser verstanden.
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