È necessario determinare l'accelerazione normale di un punto in un dato momento, a condizione che l'accelerazione del punto sia 1,5 m/s² e l'angolo tra i vettori accelerazione e velocità sia 65°. Arrotondate la vostra risposta alla seconda cifra decimale.
Risposta:
È noto che il prodotto vettoriale della velocità e dell'accelerazione di un punto è uguale alla proiezione dell'accelerazione sulla direzione del raggio di curvatura:
$$\vec{v} \times \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e}_t) = \frac{ dv}{dt}\vec{e}_t + v\frac{d\vec{e}_t}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + v^2\vec{e }_n,$$
dove $\vec{e}_t$ e $\vec{e}_n$ sono rispettivamente i versori tangente e normale alla curva.
L'accelerazione normale di un punto è definita come il modulo del vettore del raggio di curvatura moltiplicato per il quadrato della velocità:
$$a_n = |\vec{a}_n| = \frac{|\vec{v} \times \vec{a}|}{v^2}.$$
Dalle condizioni del problema si conoscono l'accelerazione del punto e l'angolo tra i vettori accelerazione e velocità:
$$a = 1,5\m/s^2,$$
$$\theta = 65^{\circ}.$$
Pertanto, l'accelerazione di un punto può essere scomposta in tangente e normale:
$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n,$$
dove $\vec{a}_t$ e $\vec{a}_n$ sono rispettivamente l'accelerazione tangenziale e normale.
L'angolo tra i vettori $\vec{a}$ e $\vec{v}$ è pari a $90^{\circ} - \theta$, quindi la proiezione dell'accelerazione nella direzione del raggio di curvatura:
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1.5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \circa ,36\ ì/с^2.$$
Pertanto, l'accelerazione normale di un punto in un dato istante è di circa 1,36 m/s².
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Presentiamo alla vostra attenzione la soluzione al problema 7.8.4 dalla collezione di Kepe O.?. nella fisica.
Innanzitutto, calcoliamo la proiezione dell'accelerazione nella direzione del raggio di curvatura utilizzando la formula:
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1.5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \circa ,36\ ì/с^2.$$
Quindi calcoliamo l'accelerazione normale di un punto in un dato momento utilizzando la formula:
$$a_n = |\vec{a}_n| /v^2,$$
dove $v$ è la velocità del punto. La velocità del punto è sconosciuta, quindi non possiamo calcolare la risposta esatta. La risposta può essere ottenuta solo se si conosce il valore della velocità del punto in un dato istante nel tempo.
La risposta al problema dipende quindi dal valore della velocità del punto, che non è noto. Ma se si conosce la velocità del punto, l'accelerazione normale del punto può essere calcolata utilizzando le formule indicate.
***
Problema 7.8.4 dalla collezione di Kepe O.?. è così formulato:
È necessario determinare l'accelerazione normale di un punto nel momento in cui l'accelerazione del punto è $a = 1,5$ m/s$^2$ e l'angolo tra i vettori accelerazione e velocità è $65^\circ $. La risposta al problema è $ 1,36 $.
Per risolvere il problema si può utilizzare la formula per calcolare l'accelerazione normale di un punto:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho},$$
dove $a_n$ è l'accelerazione normale, $v$ è la velocità del punto e $\rho$ è il raggio di curvatura della traiettoria del punto.
Per calcolare il raggio di curvatura della traiettoria di un punto, è necessario utilizzare la formula:
$$\rho = \frac{v^2}{a},$$
dove $a$ è l'accelerazione centripeta del punto.
Dalle condizioni del problema conosciamo l'accelerazione del punto $a = 1.5$ m/s$^2$, quindi l'accelerazione centripeta è pari a:
$$a_c = a \cos \theta = 1,5 \cos 65^\circ \circa 0,604$$
dove $\theta$ è l'angolo tra i vettori accelerazione e velocità.
Per calcolare la velocità di un punto, puoi utilizzare la formula:
$$v = \frac{v_0}{\cos \theta},$$
dove $v_0$ è la velocità iniziale del punto.
La velocità iniziale del punto non è nota, ma puoi notare che l'angolo tra i vettori accelerazione e velocità è uguale a $65^\circ$, il che significa che l'angolo tra i vettori velocità e il vettore raggio del punto è uguale a $90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$. Pertanto è possibile utilizzare la formula per la proiezione della velocità sul raggio vettore:
$$v_0 = v \cos (90^\circ - \theta) = v \sin \theta.$$
Pertanto la velocità iniziale del punto è:
$$v_0 = v \sin \theta = \frac{a}{\cos \theta} \sin \theta = a \tan \theta.$$
Sostituendo le espressioni risultanti per $a_c$ e $v_0$ nella formula del raggio di curvatura della traiettoria, otteniamo:
$$\rho = \frac{v^2}{a} = \frac{(a \tan \theta)^2}{a} = a \tan^2 \theta.$$
Resta da sostituire le espressioni $a$ e $\rho$ nella formula per l'accelerazione normale:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho} = \frac{(a/\cos \theta)^2}{a \tan^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 65^\circ \cos^2 65^\circ} \circa 1,36.$$
Pertanto, la risposta al problema è $ 1,36$.
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