Es necesario determinar la aceleración normal de un punto en un momento dado, siempre que la aceleración del punto sea de 1,5 m/s² y el ángulo entre los vectores aceleración y velocidad sea de 65°. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.
Respuesta:
Se sabe que el producto vectorial de la velocidad y la aceleración de un punto es igual a la proyección de la aceleración en la dirección del radio de curvatura:
$$\vec{v} \times \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e}_t) = \frac{ dv}{dt}\vec{e}_t + v\frac{d\vec{e}_t}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + v^2\vec{e }_n,$$
donde $\vec{e}_t$ y $\vec{e}_n$ son los vectores unitarios tangentes y normales a la curva, respectivamente.
La aceleración normal de un punto se define como el módulo del vector del radio de curvatura multiplicado por el cuadrado de la velocidad:
$$a_n = |\vec{a}_n| = \frac{|\vec{v} \times \vec{a}|}{v^2}.$$
De las condiciones del problema se conoce la aceleración del punto y el ángulo entre los vectores aceleración y velocidad:
$$a = 1.5\m/s^2,$$
$$\theta = 65^{\circ}.$$
Por tanto, la aceleración de un punto se puede descomponer en tangente y normal:
$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n,$$
donde $\vec{a}_t$ y $\vec{a}_n$ son las aceleraciones tangencial y normal, respectivamente.
El ángulo entre los vectores $\vec{a}$ y $\vec{v}$ es igual a $90^{\circ} - \theta$, por lo tanto, la proyección de la aceleración sobre la dirección del radio de curvatura:
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1.5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \approx ,36\ м/с^2.$$
Así, la aceleración normal de un punto en un momento dado es aproximadamente de 1,36 m/s².
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Presentamos a su atención la solución al problema 7.8.4 de la colección de Kepe O.?. en física.
Primero, calculemos la proyección de la aceleración en la dirección del radio de curvatura usando la fórmula:
$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1.5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \approx ,36\ м/с^2.$$
Luego calculamos la aceleración normal de un punto en un momento dado mediante la fórmula:
$$a_n = |\vec{a}_n| /v^2,$$
donde $v$ es la velocidad del punto. Se desconoce la velocidad del punto, por lo que no podemos calcular la respuesta exacta. La respuesta sólo se puede obtener si se conoce el valor de la velocidad del punto en un momento dado.
Por tanto, la respuesta al problema depende del valor de la velocidad del punto, que se desconoce. Pero si se conoce la velocidad del punto, entonces la aceleración normal del punto se puede calcular utilizando las fórmulas indicadas.
***
Problema 7.8.4 de la colección de Kepe O.?. se formula de la siguiente manera:
Es necesario determinar la aceleración normal de un punto en el momento en que la aceleración del punto es $a = 1.5$ m/s$^2$, y el ángulo entre los vectores aceleración y velocidad es $65^\circ ps La respuesta al problema es $1,36$.
Para resolver el problema, puedes utilizar la fórmula para calcular la aceleración normal de un punto:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho},$$
donde $a_n$ es la aceleración normal, $v$ es la velocidad del punto y $\rho$ es el radio de curvatura de la trayectoria del punto.
Para calcular el radio de curvatura de la trayectoria de un punto, debes utilizar la fórmula:
$$\rho = \frac{v^2}{a},$$
donde $a$ es la aceleración centrípeta del punto.
De las condiciones del problema conocemos la aceleración del punto $a = 1.5$ m/s$^2$, por lo tanto la aceleración centrípeta es igual a:
$$a_c = a \cos \theta = 1,5 \cos 65^\circ \aprox 0,604$$
donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores aceleración y velocidad.
Para calcular la velocidad de un punto, puedes usar la fórmula:
$$v = \frac{v_0}{\cos \theta},$$
donde $v_0$ es la velocidad inicial del punto.
Se desconoce la velocidad inicial del punto, pero puedes notar que el ángulo entre los vectores aceleración y velocidad es igual a $65^\circ$, lo que significa que el ángulo entre los vectores velocidad y el vector radio del punto es igual a $90^\circ - 65^\circ = 25^\circ $. Por lo tanto, puedes usar la fórmula para la proyección de la velocidad sobre el vector de radio:
$$v_0 = v \cos (90^\circ - \theta) = v \sin \theta.$$
Por tanto, la velocidad inicial del punto es:
$$v_0 = v \sin \theta = \frac{a}{\cos \theta} \sin \theta = a \tan \theta.$$
Sustituyendo las expresiones resultantes para $a_c$ y $v_0$ en la fórmula para el radio de curvatura de la trayectoria, obtenemos:
$$\rho = \frac{v^2}{a} = \frac{(a \tan \theta)^2}{a} = a \tan^2 \theta.$$
Queda por sustituir las expresiones de $a$ y $\rho$ en la fórmula de aceleración normal:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho} = \frac{(a/\cos \theta)^2}{a \tan^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 65^\circ \cos^2 65^\circ} \aprox 1,36.$$
Por tanto, la respuesta al problema es $1,36$.
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