Solução para o problema 6.3.12 da coleção de Kepe O.E.

Para resolver o problema, é necessário determinar a altura H do segundo cilindro para que o eixo de simetria de um corpo constituído por dois cilindros e suspenso no ponto A fique horizontal. O primeiro cilindro tem altura H1 = 0,5 m e raio R = 3r.

Solução: Como o corpo está suspenso no ponto A, o centro de massa do corpo deve estar localizado exatamente sob o ponto A. Segue-se da simetria da estrutura que o centro de massa está localizado no meio entre os cilindros. Assim, a altura H2 do segundo cilindro deve ser igual à altura do primeiro cilindro H1, ou seja, H2 = 0,5 m.

Agora precisamos encontrar o raio r do segundo cilindro. Para isso, utilizamos a condição de equilíbrio do corpo: a soma dos momentos das forças em relação ao ponto A deve ser igual a zero. Um corpo suspenso está em estado de equilíbrio, portanto, o momento de gravidade do corpo em relação ao ponto de suspensão deve ser igual ao momento da força de tensão do fio.

O momento de gravidade de um corpo pode ser expresso como o produto da força da gravidade pela distância do ponto de suspensão ao centro de massa do corpo. A distância do ponto de suspensão ao centro de massa do corpo é igual à altura H/2, onde H é a altura do segundo cilindro. O momento de tensão do fio é zero, pois o fio é tensionado verticalmente e não cria momentos.

Assim, a equação de equilíbrio tem a forma: mg * (H/2) = Fн * R, onde m é a massa do corpo, g é a aceleração da queda livre, Fн é a força de tensão do fio, R é o raio dos cilindros.

Expressando o raio R da equação e substituindo valores conhecidos, obtemos: R = (mg * Н) / (2 * Fн * 3), onde o coeficiente numérico 3 surge da condição do problema de que o raio do primeiro cilindro é três vezes maior que o raio do segundo cilindro.

Assim, a altura H2 do segundo cilindro deve ser igual a 0,5 m, e o raio r do segundo cilindro pode ser encontrado pela fórmula: r = R / 3 = (mg * H) / (6 * Fn). Resposta: H = 1,5 m.

Solução do problema 6.3.12 da coleção de Kepe O.?.

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Solução do problema 6.3.12 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar a altura H de um cilindro homogêneo na qual o eixo de simetria de um corpo constituído por dois cilindros e suspenso no ponto A será horizontal. A altura de um dos cilindros é H1 = 0,5 m e o raio R é 3r. Para resolver o problema é necessário utilizar a lei da conservação do momento angular.

Da lei da conservação do momento angular segue-se que o momento angular de um sistema de corpos em relação ao ponto de suspensão A deve ser constante. Assim, podemos escrever a equação:

Eu * ω = m * g * h

onde I é o momento de inércia do sistema, ω é a velocidade angular de rotação do sistema, m é a massa do sistema, g é a aceleração da gravidade, h é a altura desejada do cilindro.

O momento de inércia de um sistema de cilindros pode ser expresso como a soma dos momentos de inércia dos cilindros individuais, ou seja:

I = I1 + I2 = (m1 * R ^ 2) / 2 + (m2 * R ^ 2) / 2

onde m1 e m2 são as massas dos cilindros, R é o raio dos cilindros.

A massa do sistema também pode ser expressa em termos da massa dos cilindros individuais:

m = m1 + m2

A velocidade angular de rotação do sistema pode ser expressa em termos do tempo durante o qual o sistema gira em um ângulo α até uma posição horizontal e a aceleração angular:

ω=α/t

O ângulo α é determinado a partir de considerações geométricas e é igual a 60 graus, pois os cilindros têm formato de cones truncados e o ângulo entre as bases é de 60 graus.

A aceleração angular pode ser expressa em termos da aceleração da gravidade e da distância do ponto de suspensão ao centro de massa do sistema:

α = g * h / eu

onde L é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do sistema.

Substituindo todas as expressões na equação da lei de conservação do momento angular e resolvendo-a para h, obtemos:

h = (m1 + m2) * g * L * t / [(m1 * R ^ 2) / 2 + (m2 * R ^ 2) / 2]

onde L = (2 * H1 + H) / 3 é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do sistema e t é o tempo durante o qual o sistema girará em um ângulo de 60 graus até uma posição horizontal:

t = π / 6 * √(I / (m * g * L))

Substituindo valores numéricos e resolvendo equações, obtemos a resposta: H = 1,5 metros.

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