Kepe O.E. のコレクションからの問題 7.8.4 の解決策。

7.8.4

点の加速度が 1.5 m/s² で、加速度ベクトルと速度ベクトルの間の角度が 65° である場合、特定の時点での点の法線加速度を決定する必要があります。答えを小数点第 2 位に四捨五入してください。

答え：

点の速度と加速度のベクトル積は、曲率半径の方向への加速度の投影に等しいことが知られています。

$$\vec{v} \times \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e}_t) = \frac{ dv}{dt}\vec{e}_t + v\frac{d\vec{e}_t}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + v^2\vec{e }_n,$$

ここで、$\vec{e}_t$ と $\vec{e}_n$ は、それぞれ曲線の接線と法線の単位ベクトルです。

点の法線加速度は、曲率半径のベクトルに速度の 2 乗を乗じた係数として定義されます。

$$a_n = |\vec{a}_n| = \frac{|\vec{v} \times \vec{a}|}{v^2}.$$

問題の条件から、点の加速度、および加速度と速度ベクトルの間の角度がわかります。

$$a = 1.5\ m/s^2,$$

$$\シータ = 65^{\circ}.$$

したがって、点の加速度は接線と法線に分解できます。

$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n,$$

ここで、$\vec{a}_t$ と $\vec{a}_n$ は、それぞれ接線加速度と法線加速度です。

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{v}$ の間の角度は $90^{\circ} - \theta$ に等しいため、曲率半径の方向への加速度の投影は次のようになります。

$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1.5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \およそ ,36\ м/с^2.$$

したがって、特定の時点における点の通常の加速度は約 1.36 m/s² となります。

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Kepe O.? のコレクションから問題 7.8.4 の解決策を紹介します。物理学で。

まず、次の式を使用して、曲率半径の方向への加速度の投影を計算しましょう。

$$|\vec{a}_n| = |\vec{a}|\sin(90^{\circ} - \theta) = a\sin\theta = 1.5\ м/с^2 \cdot \sin 65^{\circ} \およそ ,36\ м/с^2.$$

次に、次の式を使用して、特定の時点での点の法線加速度を計算します。

$$a_n = |\vec{a}_n| /v^2,$$

ここで、$v$ はポイントの速度です。ポイントの速度は不明なので、正確な答えを計算することはできません。答えは、特定の時点での点の速度の値がわかっている場合にのみ得られます。

したがって、問題に対する答えは、未知の点の速度値に依存します。ただし、点の速度がわかっている場合は、示されている式を使用して点の法線加速度を計算できます。

***

Kepe O.? のコレクションからの問題 7.8.4。は次のように定式化されます。

点の加速度が $a = 1.5$ m/s$^2$ であり、加速度ベクトルと速度ベクトルの間の角度が $65^\circ であるとき、その時点での点の法線加速度を求める必要があります。 $。問題の答えは $1.36$ です。

この問題を解決するには、次の式を使用して点の法線加速度を計算できます。

$$a_n = \frac{v^2}{\rho},$$

ここで、$a_n$ は通常の加速度、$v$ はポイントの速度、$\rho$ はポイントの軌道の曲率半径です。

点の軌道の曲率半径を計算するには、次の式を使用する必要があります。

$$\rho = \frac{v^2}{a},$$

ここで、$a$ は点の向心加速度です。

問題の条件から、点の加速度 $a = 1.5$ m/s$^2$ がわかるため、向心加速度は次のようになります。

$$a_c = a \cos \theta = 1,5 \cos 65^\circ \約 0,604$$

ここで、$\theta$ は加速度と速度ベクトルの間の角度です。

ポイントの速度を計算するには、次の式を使用できます。

$$v = \frac{v_0}{\cos \theta},$$

ここで、$v_0$ はポイントの初速度です。

点の初速度は不明ですが、加速度ベクトルと速度ベクトルの間の角度が $65^\circ$ に等しいことがわかります。これは、速度ベクトルと点の半径ベクトルの間の角度が次の値に等しいことを意味します。 $90^\circ - 65^\circ = 25^\circ $。したがって、速度を半径ベクトルに投影するための公式を使用できます。

$$v_0 = v \cos (90^\circ - \theta) = v \sin \theta.$$

したがって、ポイントの初速度は次のようになります。

$$v_0 = v \sin \theta = \frac{a}{\cos \theta} \sin \theta = a \tan \theta.$$

$a_c$ と $v_0$ の結果の式を軌道の曲率半径の式に代入すると、次のようになります。

$$\rho = \frac{v^2}{a} = \frac{(a \tan \theta)^2}{a} = a \tan^2 \theta.$$

$a$ と $\rho$ の式を通常の加速の式に代入する作業が残ります。

$$a_n = \frac{v^2}{\rho} = \frac{(a/\cos \theta)^2}{a \tan^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{a}{\sin^2 65^\circ \cos^2 65^\circ} \約 1,36.$$

したがって、問題の答えは $1.36$ となります。

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