Reshebnik Ryabushko. Resolvido IDZ 18.2, Opção 1

Descreução

As segueuntes tarefas são dadas:

Encontre a lei de distribuição do SV X discreto e sua função de distribuição F(x). Calcule a expectativa matemática M(X), variância D(X) e desvio padrão σ(X). Trace a função de distribuição F(x).

1.1. Um carro deve circular por uma rua que possui quatro semáforos operando de forma independente. Cada semáforo emite sinais vermelhos e verdes em intervalos de 2 minutos; CB X é o número de paradas de carros nesta rua.

1. É dada a função de distribuição F(x) do SV X. Encontre a densidade de distribuição de probabilidade f(x), a expectativa matemática M(X), a dispersão D(X) e a probabilidade do SV X cair no segmento [ a; b]. Desenhe gráficos das funções F(x) e f(x).

2. Resolva os seguintes problemas:

   3.1. Um rolo feito por máquina automática é considerado padrão se o desvio de seu diâmetro em relação ao tamanho do projeto não ultrapassar 2 mm. Os desvios aleatórios dos diâmetros dos rolos obedecem à lei normal com um desvio padrão de 1,6 mm e uma expectativa matemática igual a 0. Quantos rolos padrão (em porcentagem) a máquina produz?

3. Resolva os seguintes problemas:

   4.1. Para determinar a qualidade dos produtos produzidos pela fábrica, foram selecionados aleatoriamente 2.500 produtos. Entre eles havia 50 com defeitos. A frequência de fabricação de produtos defeituosos é considerada um valor aproximado da probabilidade de fabricação de um produto defeituoso. Determine com que probabilidade é possível garantir que o erro absoluto permitido não ultrapassará 0,02.

Responder

1. Para resolver o problema, é necessário determinar a lei de distribuição e a função de distribuição do SV X discreto. Conhecendo a função de distribuição, você pode encontrar a densidade da distribuição de probabilidade e, em seguida, a expectativa matemática, dispersão e desvio padrão. Trace a função de distribuição F(x).

   Para CB X usaremos a seguinte notação: X é o número de paradas de carro na rua. Cada semáforo emite sinais vermelhos e verdes em intervalos de 2 minutos, portanto o CB X assume valores de 0 a 4 inclusive. Os valores de SV X e suas probabilidades são dados na tabela:

   X	0	1	2	3	4
   P(X)	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

   Aqui P(X) é a probabilidade de SV X assumir o valor correspondente.

   A função de distribuição F(x) para um SV X discreto é definida como a soma das probabilidades de valores de SV X menores ou iguais a x:

   F(x) = P(X ≤ x)

   Vamos traçar a função de distribuição F(x):

   Vamos encontrar a densidade da distribuição de probabilidade f(x). Para fazer isso usamos a fórmula:

   f(x) = P(X = x)

   Tabela de valores de f(x) para SV X:

   X	0	1	2	3	4
   f(x)	0,0625	0,1875	0,125	0,1875	0,0625

   A expectativa matemática M(X) e a variância D(X) para um SV X discreto são calculadas usando as fórmulas:

   M(X) = S_eu=1ⁿ x_i P(X = x_i)

   D(X) = S_eu=1ⁿ (x_i -M(X))² P(X = x_i)

   Calculando usando essas fórmulas, obtemos:

   M(X) = 1,5

   D(X) = 1,25

   O desvio padrão σ(X) é igual à raiz da variância:

   σ(X) = √D(X) ≈ 1,12

2. É dada a função de distribuição F(x) do SV X. É necessário encontrar a densidade de distribuição de probabilidade f(x), a expectativa matemática M(X), a dispersão D(X) e a probabilidade de o SV X cair no segmento [a; b]. Desenhe gráficos das funções F(x) e f(x).

   Seja a função de distribuição F(x) CB X dada pela seguinte fórmula:

   F(x) = 1 - e^-λx, x ≥ 0

   onde λ > 0 é o parâmetro de distribuição.

   A densidade de distribuição de probabilidade f(x) para SV X é calculada como a derivada da função de distribuição:

   f(x) = F'(x) = λe^-λx, x ≥ 0

   Expectativa M(X

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Este IDZ examina problemas em teoria das probabilidades e estatística matemática. Em particular, o livro de soluções contém soluções para problemas de determinação da lei de distribuição de uma variável aleatória discreta, sua função de distribuição, densidade de distribuição de probabilidade, expectativa matemática, dispersão e desvio padrão. Também são considerados problemas de encontrar a probabilidade de uma variável aleatória cair em um determinado segmento e avaliar a qualidade dos produtos manufaturados.

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A primeira tarefa é encontrar a lei de distribuição e a função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X, que é o número de paradas de carros em uma rua com quatro semáforos. Também é necessário calcular a expectativa matemática, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X, bem como traçar a função de distribuição F(x).

A segunda tarefa é encontrar a densidade de distribuição de probabilidade f(x), a expectativa matemática e a dispersão da variável aleatória X, bem como a probabilidade de SV X cair no segmento [a; b]. Também é necessário traçar a função de distribuição F(x) e a densidade de distribuição f(x).

A terceira tarefa está relacionada à determinação do número de rolos padrão produzidos pela máquina em um determinado desvio padrão e à expectativa matemática do desvio do diâmetro do rolo em relação ao tamanho do projeto.

A quarta tarefa é determinar a probabilidade de que, ao amostrar 2.500 produtos da produção da fábrica, a proporção de produtos defeituosos não exceda um determinado erro absoluto.

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