レシェブニク・リャブシュコ。解決済み IDZ 18.2、オプション 1

説明

次のタスクが与えられます。

離散 SV バツ の分布法則とその分布関数 F(バツ) を求めます。数学的な期待値 M(バツ)、分散 D(X)、標準偏差 σ(X) を計算します。分布関数 F（バツ) をプロットします。

1.1.車は、独立して動作する 4 つの信号機がある道路を走行しなければなりません。各信号機は 2 分間隔で赤と青の信号を発します。 CB X はこの通りの車の停留所の数です。

SV X の分布関数 F(x) が与えられ、確率分布密度 f(x)、数学的期待値 M(X)、分散 D(X)、および SV X がセグメント [ a; b]。関数 F(x) と f(x) のグラフを描きます。

1. 次の問題を解決します。

   3.1.自動機械で製造されたローラーは、設計サイズからの直径の偏差が 2 mm を超えない場合、標準とみなされます。ローラー直径のランダムな偏差は、標準偏差 1.6 mm および数学的期待値 0 の正規法に従います。機械は標準ローラーをいくつ (パーセントで) 生産しますか?

2. 次の問題を解決します。

   4.1.工場で生産された製品の品質を判断するために、2,500 個の製品が無作為に選択されました。そのうち50個に欠陥があった。不良品製造頻度は、不良品が製造される確率の近似値とする。許容される絶対誤差が 0.02 を超えないことを保証できる確率を決定します。

答え

1. この問題を解決するには、離散 SV X の分布法則と分布関数を決定する必要があります。分布関数がわかれば、確率分布密度がわかり、数学的な期待値、分散、標準偏差がわかります。分布関数 F(x) をプロットします。

   CB X については、次の表記を使用します。X は、道路上の車の停留所の数です。各信号機は 2 分間隔で赤と青の信号を発するため、CB X は 0 から 4 までの値をとります。 SV X の値とその確率を表に示します。

   X	0	1	2	3	4
   P(X)	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

   ここで、P(X) は SV X が対応する値を取る確率です。

   離散 SV X の分布関数 F(x) は、x 以下の SV X の値の確率の合計として定義されます。

   F(x) = P(X ≤ x)

   分布関数 F(x) をプロットしてみましょう。

   確率分布密度 f(x) を求めてみましょう。これを行うには、次の式を使用します。

   f(x) = P(X = x)

   SV X の f(x) 値の表:

   X	0	1	2	3	4
   f(x)	0,0625	0,1875	0,125	0,1875	0,0625

   離散 SV X の数学的期待値 M(X) と分散 D(X) は、次の式を使用して計算されます。

   M(X) = S_i=1ⁿ x_i P(X = x_i)

   D(X) = S_i=1ⁿ (x_i -M(X))² P(X = x_i)

   これらの式を使用して計算すると、次のようになります。

   M(X) = 1.5

   D(X) = 1.25

   標準偏差 σ(X) は分散の根に等しくなります。

   σ(X) = √D(X) ≈ 1.12

2. SV X の分布関数 F(x) が与えられ、確率分布密度 f(x)、数学的期待値 M(X)、分散 D(X)、SV X が下がる確率を求める必要があります。セグメント [a; b]。関数 F(x) と f(x) のグラフを描きます。

   分布関数 F(x) CB X が次の式で与えられるとします。

   F(x) = 1 - e^-λx, x ≥ 0

   ここで、λ > 0 は分布パラメータです。

   SV X の確率分布密度 f(x) は、分布関数の導関数として計算されます。

   f(x) = F'(x) = λe^-λx, x ≥ 0

   期待値 M(X

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Ryabushko のソルバーは、数学、確率、統計における解決済みの問題のコレクションです。この場合、いくつかのタスクを含む個別の宿題 (IH) 18.2、オプション 1 が解決されています。

最初のタスクは、信号が 4 つある道路上の車の停止数である離散確率変数 X の分布則と確率分布関数を見つけることです。確率変数 X の数学的期待値、分散、標準偏差を計算し、分布関数 F(x) をプロットすることも必要です。

2 番目のタスクは、確率分布密度 f(x)、確率変数 X の数学的期待値と分散、およびセグメント [a; に該当する SV X の確率を見つけることです。 b]。また、分布関数 F(x) と分布密度 f(x) をプロットする必要があります。

3 番目のタスクは、所定の標準偏差で機械によって製造される標準ローラーの数と、設計サイズからのローラー直径の偏差の数学的期待値を決定することに関連しています。

4 番目のタスクは、工場の生産品から 2500 個の製品をサンプリングしたときに、不良品の割合が所定の絶対誤差を超えない確率を決定することです。

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