Reshebnik Ryabushko. IDZ 18.2 résolu, option 1

Descrjeptjeon

Les tâches sujevantes sont confiées :

1. Trouvez la loi de distribution du SV discret X et sa fonction de distribution F(X). Calculez l'espérance mathématique M(X), la variance D(X) et l'écart type σ(X). Tracez la fonction de distribution F(X).

   1.1. Une voiture doit circuler dans une rue comportant quatre feux de circulation fonctionnant indépendamment. Chaque feu de circulation donne des signaux rouges et verts à intervalles de 2 minutes ; CB X est le nombre d'arrêts de voitures dans cette rue.

2. La fonction de distribution F(x) du SV X est donnée. Trouvez la densité de distribution de probabilité f(x), l'espérance mathématique M(X), la dispersion D(X) et la probabilité que le SV X tombe sur le segment [ un; b]. Dessinez des graphiques des fonctions F(x) et f(x).

3. Résolvez les problèmes suivants :

   3.1. Un rouleau fabriqué par une machine automatique est considéré comme standard si l'écart de son diamètre par rapport à la taille de conception ne dépasse pas 2 mm. Les écarts aléatoires des diamètres des rouleaux obéissent à la loi normale avec un écart type de 1,6 mm et une espérance mathématique égale à 0. Combien de rouleaux standards (en pourcentage) la machine produit-elle ?

4. Résolvez les problèmes suivants :

   4.1. Pour déterminer la qualité des produits fabriqués par l'usine, 2 500 produits ont été sélectionnés au hasard. Parmi eux, il y en avait 50 présentant des défauts. La fréquence de fabrication de produits défectueux est considérée comme une valeur approximative de la probabilité de fabriquer un produit défectueux. Déterminez avec quelle probabilité il est possible de garantir que l'erreur absolue autorisée ne dépassera pas 0,02.

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1. Pour résoudre le problème, il est nécessaire de déterminer la loi de distribution et la fonction de distribution du SV discret X. Connaissant la fonction de distribution, vous pouvez trouver la densité de distribution de probabilité, puis l'espérance mathématique, la dispersion et l'écart type. Tracez la fonction de distribution F(x).

   Pour CB X nous utiliserons la notation suivante : X est le nombre d'arrêts de voiture dans la rue. Chaque feu de circulation émet des signaux rouges et verts à intervalles de 2 minutes, donc CB X prend des valeurs de 0 à 4 inclus. Les valeurs de SV X et leurs probabilités sont données dans le tableau :

   X	0	1	2	3	4
   P(X)	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

   Ici P(X) est la probabilité que SV X prenne la valeur correspondante.

   La fonction de distribution F(x) pour un SV X discret est définie comme la somme des probabilités de valeurs de SV X inférieures ou égales à x :

   F(x) = P(X ≤x)

   Traçons la fonction de distribution F(x) :

   Trouvons la densité de distribution de probabilité f(x). Pour ce faire, nous utilisons la formule :

   f(x) = P(X = X)

   Tableau des valeurs f(x) pour SV X :

   X	0	1	2	3	4
   f(x)	0,0625	0,1875	0,125	0,1875	0,0625

   L'espérance mathématique M(X) et la variance D(X) pour un SV discret X sont calculées à l'aide des formules :

   M(X) = S_{je = 1}ⁿ x_i P(X = X_i)

   D(X) = S_{je = 1}ⁿ (x_i -M(X))² P(X = x_i)

   En calculant à l'aide de ces formules, nous obtenons :

   M(X) = 1,5

   D(X) = 1,25

   L'écart type σ(X) est égal à la racine de la variance :

   σ(X) = √D(X) ≈ 1,12

2. On donne la fonction de distribution F(x) du SV X. Il faut trouver la densité de distribution de probabilité f(x), l'espérance mathématique M(X), la dispersion D(X) et la probabilité de chute du SV X. sur le segment [a; b]. Dessinez des graphiques des fonctions F(x) et f(x).

   Soit la fonction de distribution F(x) CB X donnée par la formule suivante :

   F(x) = 1 - e^-λx, x ≥ 0

   où λ > 0 est le paramètre de distribution.

   La densité de distribution de probabilité f(x) pour SV X est calculée comme la dérivée de la fonction de distribution :

   f(x) = F'(x) = λe^-λx, x ≥ 0

   Attente M(X

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Cet IDZ examine les problèmes de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques. En particulier, le livre de solutions contient des solutions aux problèmes de recherche de la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète, de sa fonction de distribution, de sa densité de distribution de probabilité, de son espérance mathématique, de sa dispersion et de son écart type. Les problèmes consistant à trouver la probabilité qu'une variable aléatoire tombe sur un segment donné et à évaluer la qualité des produits fabriqués sont également pris en compte.

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Le solveur de Ryabushko est un ensemble de problèmes résolus en mathématiques, probabilités et statistiques. Dans ce cas, le devoir individuel (IH) 18.2, option 1, qui comprend plusieurs tâches, a été résolu.

La première tâche consiste à trouver la loi de distribution et la fonction de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète X, qui est le nombre d'arrêts de voiture dans une rue avec quatre feux de circulation. Il est également nécessaire de calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de la variable aléatoire X, ainsi que de tracer la fonction de distribution F(x).

La deuxième tâche consiste à trouver la densité de distribution de probabilité f(x), l'espérance mathématique et la dispersion de la variable aléatoire X, ainsi que la probabilité que SV X tombe sur le segment [a ; b]. Il est également nécessaire de tracer la fonction de distribution F(x) et la densité de distribution f(x).

La troisième tâche consiste à déterminer le nombre de rouleaux standard produits par la machine pour un écart type donné et l'espérance mathématique de l'écart du diamètre du rouleau par rapport à la taille de conception.

La quatrième tâche consiste à déterminer la probabilité que lors de l'échantillonnage de 2 500 produits de la production de l'usine, la proportion de produits défectueux ne dépasse pas une erreur absolue donnée.

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