Reshebnik Ryabushko. IDZ 18.2, Option 1 gelöst

BeschreibuNg

FolgeNde Aufgaben werden gestellt:

1. Finden Sie das Verteilungsgesetz des diskreten SV X und seine Verteilungsfunktion F(X). Berechnen Sie den mathematischen Erwartungswert M(X), die Varianz D(X) und die Standardabweichung σ(X). Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F(X).

   1.1. Ein Auto muss auf einer Straße fahren, die über vier unabhängig voneinander funktionierende Ampeln verfügt. Jede Ampel gibt im Abstand von 2 Minuten rote und grüne Signale; CB X ist die Anzahl der Autohaltestellen auf dieser Straße.

2. Gegeben ist die Verteilungsfunktion F(x) des SV X. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte f(x), den mathematischen Erwartungswert M(X), die Streuung D(X) und die Wahrscheinlichkeit, dass der SV A; B]. Zeichnen Sie Graphen der Funktionen F(x) und f(x).

3. Lösen Sie die folgenden Probleme:

   3.1. Eine automatisch hergestellte Walze gilt als Standardwalze, wenn die Abweichung ihres Durchmessers von der Konstruktionsgröße 2 mm nicht überschreitet. Zufällige Abweichungen der Rollendurchmesser gehorchen dem Normalgesetz mit einer Standardabweichung von 1,6 mm und einem mathematischen Erwartungswert von 0. Wie viele Standardrollen (in Prozent) produziert die Maschine?

4. Lösen Sie die folgenden Probleme:

   4.1. Um die Qualität der von der Anlage produzierten Produkte zu bestimmen, wurden 2.500 Produkte nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Darunter waren 50 mit Mängeln. Die Häufigkeit der Herstellung fehlerhafter Produkte wird als Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit der Herstellung eines fehlerhaften Produkts angesehen. Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit garantiert werden kann, dass der zulässige absolute Fehler 0,02 nicht überschreitet.

Antwort

1. Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, das Verteilungsgesetz und die Verteilungsfunktion des diskreten SV X zu bestimmen. Wenn Sie die Verteilungsfunktion kennen, können Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte und dann den mathematischen Erwartungswert, die Streuung und die Standardabweichung ermitteln. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F(x).

   Für CB X verwenden wir die folgende Notation: X ist die Anzahl der Autostopps auf der Straße. Jede Ampel sendet im Abstand von 2 Minuten rote und grüne Signale aus, sodass CB X Werte von 0 bis einschließlich 4 annimmt. Die Werte von SV X und ihre Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle angegeben:

   X	0	1	2	3	4
   P(X)	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

   Dabei ist P(X) die Wahrscheinlichkeit, dass SV X den entsprechenden Wert annimmt.

   Die Verteilungsfunktion F(x) für ein diskretes SV X ist definiert als die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Werten von SV X kleiner oder gleich x:

   F(x) = P(X ≤ x)

   Zeichnen wir die Verteilungsfunktion F(x) auf:

   Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte f(x) ermitteln. Dazu verwenden wir die Formel:

   f(x) = P(X = x)

   Tabelle der f(x)-Werte für SV X:

   X	0	1	2	3	4
   f(x)	0,0625	0,1875	0,125	0,1875	0,0625

   Der mathematische Erwartungswert M(X) und die Varianz D(X) für einen diskreten SV X werden mit den Formeln berechnet:

   M(X) = S_i=1ⁿ x_i P(X = x_i)

   D(X) = S_i=1ⁿ (x_i - M(X))² P(X = x_i)

   Wenn wir mit diesen Formeln rechnen, erhalten wir:

   M(X) = 1,5

   D(X) = 1,25

   Die Standardabweichung σ(X) ist gleich der Wurzel der Varianz:

   σ(X) = √D(X) ≈ 1,12

2. Gegeben ist die Verteilungsfunktion F(x) des SV auf dem Segment [a; B]. Zeichnen Sie Graphen der Funktionen F(x) und f(x).

   Die Verteilungsfunktion F(x) CB X sei durch die folgende Formel gegeben:

   F(x) = 1 - e^-λx, x ≥ 0

   wobei λ > 0 der Verteilungsparameter ist.

   Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte f(x) für SV X wird als Ableitung der Verteilungsfunktion berechnet:

   f(x) = F'(x) = λe^-λx, x ≥ 0

   Erwartung M(X

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Dieses IDZ untersucht Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Das Lösungsbuch enthält insbesondere Lösungen für Probleme zur Ermittlung des Verteilungsgesetzes einer diskreten Zufallsvariablen, ihrer Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte, mathematischen Erwartung, Streuung und Standardabweichung. Berücksichtigt werden auch Probleme bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable auf ein bestimmtes Segment fällt, und bei der Beurteilung der Qualität hergestellter Produkte.

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Ryabushkos Löser ist eine Sammlung gelöster Probleme in Mathematik, Wahrscheinlichkeit und Statistik. In diesem Fall wurde die Einzelhausaufgabe (IH) 18.2, Option 1, die mehrere Aufgaben umfasst, gelöst.

Die erste Aufgabe besteht darin, das Verteilungsgesetz und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X zu finden, die die Anzahl der Autostopps auf einer Straße mit vier Ampeln angibt. Es ist außerdem erforderlich, den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsvariablen X zu berechnen sowie die Verteilungsfunktion F(x) darzustellen.

Die zweite Aufgabe besteht darin, die Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte f(x), den mathematischen Erwartungswert und die Streuung der Zufallsvariablen X sowie die Wahrscheinlichkeit, dass SV X auf das Segment [a; B]. Es ist außerdem erforderlich, die Verteilungsfunktion F(x) und die Verteilungsdichte f(x) darzustellen.

Die dritte Aufgabe bezieht sich auf die Bestimmung der Anzahl der von der Maschine produzierten Standardrollen bei einer gegebenen Standardabweichung und der mathematischen Erwartung der Abweichung des Rollendurchmessers von der Konstruktionsgröße.

Die vierte Aufgabe besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei einer Stichprobe von 2500 Produkten aus der Produktion des Werks der Anteil fehlerhafter Produkte einen bestimmten absoluten Fehler nicht überschreitet.

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