Reshebnik Ryabushko. IDZ 18.2 resuelto, opción 1

Descripciónorteorte

Se asignan las siguientes tareas:

1. Encuentre la ley de distribución del SV X discreto y su función de distribución F(X). Calcule la expectativa matemática M(X), la varianza D(X) y la desviación estándar σ(X). Trazar la función de distribución F(X).

   1.1. Un automóvil debe circular por una calle que tiene cuatro semáforos que funcionan de forma independiente. Cada semáforo da señales rojas y verdes a intervalos de 2 minutos; CB X es el número de paradas de coches en esta calle.

2. Se da la función de distribución F(x) del SV X. Encuentre la densidad de distribución de probabilidad f(x), la expectativa matemática M(X), la dispersión D(X) y la probabilidad de que el SV X caiga en el segmento [ a; b]. Dibuja gráficas de las funciones F(x) y f(x).

3. Resuelve los siguientes problemas:

   3.1. Un rodillo fabricado con una máquina automática se considera estándar si la desviación de su diámetro con respecto al tamaño de diseño no supera los 2 mm. Las desviaciones aleatorias de los diámetros de los rodillos obedecen a la ley normal con una desviación estándar de 1,6 mm y una expectativa matemática igual a 0. ¿Cuántos rodillos estándar (en porcentaje) produce la máquina?

4. Resuelve los siguientes problemas:

   4.1. Para determinar la calidad de los productos elaborados por la planta, se seleccionaron al azar 2.500 productos. Entre ellos había 50 con defectos. La frecuencia de fabricación de productos defectuosos se toma como un valor aproximado de la probabilidad de fabricar un producto defectuoso. Determine con qué probabilidad es posible garantizar que el error absoluto permitido no supere 0,02.

Respuesta

1. Para resolver el problema, es necesario determinar la ley de distribución y la función de distribución del SV X discreto. Conociendo la función de distribución, se puede encontrar la densidad de distribución de probabilidad y luego la expectativa matemática, la dispersión y la desviación estándar. Trazar la función de distribución F(x).

   Para CB X usaremos la siguiente notación: X es el número de paradas de automóviles en la calle. Cada semáforo emite señales rojas y verdes a intervalos de 2 minutos, por lo que CB X toma valores del 0 al 4 inclusive. Los valores de SV X y sus probabilidades se dan en la tabla:

   X	0	1	2	3	4
   P(X)	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

   Aquí P(X) es la probabilidad de que SV X tome el valor correspondiente.

   La función de distribución F(x) para un SV X discreto se define como la suma de las probabilidades de valores de SV X menores o iguales a x:

   F(x) = P(X≤x)

   Tracemos la función de distribución F(x):

   Encontremos la densidad de distribución de probabilidad f(x). Para ello utilizamos la fórmula:

   f(x) = P(X = x)

   Tabla de valores de f(x) para SV X:

   X	0	1	2	3	4
   f(x)	0,0625	0,1875	0,125	0,1875	0,0625

   La expectativa matemática M(X) y la varianza D(X) para un SV X discreto se calculan mediante las fórmulas:

   M(X) = S_yo=1ⁿ x_i P(X = x_i)

   D(X) = S_yo=1ⁿ (x_i -M(X))² P(X = x_i)

   Calculando usando estas fórmulas, obtenemos:

   M(X) = 1,5

   D(X) = 1,25

   La desviación estándar σ(X) es igual a la raíz de la varianza:

   σ(X) = √D(X) ≈ 1,12

2. Se da la función de distribución F(x) del SV X. Es necesario encontrar la densidad de distribución de probabilidad f(x), la expectativa matemática M(X), la dispersión D(X) y la probabilidad de que caiga el SV X. en el segmento [a; b]. Dibuja gráficas de las funciones F(x) y f(x).

   Sea la función de distribución F(x) CB X dada por la siguiente fórmula:

   F(x) = 1 - mi^-λx, x ≥ 0

   donde λ > 0 es el parámetro de distribución.

   La densidad de distribución de probabilidad f(x) para SV X se calcula como la derivada de la función de distribución:

   f(x) = F'(x) = λe^-λx, x ≥ 0

   Expectativa M(X

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Este IDZ examina problemas de teoría de la probabilidad y estadística matemática. En particular, el libro de soluciones contiene soluciones a problemas de encontrar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta, su función de distribución, densidad de distribución de probabilidad, expectativa matemática, dispersión y desviación estándar. También se consideran los problemas de encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un segmento determinado y evaluar la calidad de los productos manufacturados.

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El solucionador de Ryabushko es una colección de problemas resueltos en matemáticas, probabilidad y estadística. En este caso se ha solucionado la Tarea Individual (IH) 18.2, Opción 1, que incluye varias tareas.

La primera tarea es encontrar la ley de distribución y la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, que es el número de paradas de automóviles en una calle con cuatro semáforos. También es necesario calcular la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria X, así como trazar la función de distribución F(x).

La segunda tarea es encontrar la densidad de distribución de probabilidad f(x), la expectativa matemática y la dispersión de la variable aleatoria X, así como la probabilidad de que SV X caiga en el segmento [a; b]. También es necesario trazar la función de distribución F(x) y la densidad de distribución f(x).

La tercera tarea está relacionada con determinar el número de rodillos estándar producidos por la máquina con una desviación estándar determinada y la expectativa matemática de la desviación del diámetro del rodillo con respecto al tamaño de diseño.

La cuarta tarea es determinar la probabilidad de que al muestrear 2500 productos de la producción de la planta, la proporción de productos defectuosos no exceda un error absoluto dado.

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