Reshebnik Ryabushko. 해결 IDZ 18.2, 옵션 1

설명

다음과 같은 작업이 제공됩니다.

이산 SV 엑스의 분포 법칙과 그 분포 함수 F(엑스)를 구합니다. 수학적 기대값 M(엑스), 분산 D(X) 및 표준 편차 σ(X)를 계산합니다. 분포 함수 F(엑스)를 도표화합니다.

1.1. 자동차는 독립적으로 작동하는 신호등 4개가 있는 거리를 따라 주행해야 합니다. 각 신호등은 2분 간격으로 빨간색과 녹색 신호를 제공합니다. CB X는 이 거리의 자동차 정류장 수입니다.

SV X의 분포 함수 F(x)가 주어지며 확률 분포 밀도 에프엑스(f(x)), 수학적 기대값 M(X), 분산 D(X) 및 SV X가 세그먼트 [ ㅏ; 비]. 함수 F(x)와 f(x)의 그래프를 그립니다.

1. 다음 문제를 해결하세요.

   3.1. 자동 기계로 만든 롤러는 직경과 설계 크기의 편차가 2mm를 초과하지 않는 경우 표준으로 간주됩니다. 롤러 직경의 무작위 편차는 표준 편차가 1.6mm이고 수학적 기대치가 0인 정규 법칙을 따릅니다. 기계는 몇 개의 표준 롤러(%)를 생산합니까?

2. 다음 문제를 해결하세요.

   4.1. 공장에서 생산되는 제품의 품질을 확인하기 위해 2,500개의 제품을 무작위로 선택했습니다. 그 중 불량품이 50개 있었다. 불량품 제조 빈도는 불량품이 제조될 확률의 대략적인 값으로 간주됩니다. 허용되는 절대 오차가 0.02를 초과하지 않는다는 것을 보장하는 것이 가능한 확률을 결정합니다.

답변

1. 문제를 해결하려면 이산 SV X의 분포 법칙과 분포 함수를 결정해야 합니다. 분포 함수를 알면 확률 분포 밀도를 알 수 있고, 이어서 수학적 기대값, 분산 및 표준 편차를 찾을 수 있습니다. 분포 함수 F(x)를 도표화합니다.

   CB X의 경우 다음 표기법을 사용합니다. X는 거리의 자동차 정류장 수입니다. 각 신호등은 2분 간격으로 빨간색과 녹색 신호를 방출하므로 CB X는 0부터 4까지의 값을 갖습니다. SV X의 값과 확률은 표에 나와 있습니다.

   X	0	1	2	3	4
   피(엑스)	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

   여기서 P(X)는 SV X가 해당 값을 취할 확률입니다.

   이산 SV X에 대한 분포 함수 F(x)는 x보다 작거나 같은 SV X 값의 확률의 합으로 정의됩니다.

   F(x) = P(X ≤ x)

   분포 함수 F(x)를 플로팅해 보겠습니다.

   확률 분포 밀도 f(x)를 찾아봅시다. 이를 위해 다음 공식을 사용합니다.

   f(x) = 피(X = x)

   SV X에 대한 f(x) 값 표:

   X	0	1	2	3	4
   f(x)	0,0625	0,1875	0,125	0,1875	0,0625

   이산 SV X에 대한 수학적 기대값 M(X)와 분산 D(X)는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

   M(X) = S_나는=1^N x_i 피(X = x_i)

   D(X) = 에스_나는=1^N (x_i -엠(엑스))² P(X = x_i)

   이 공식을 사용하여 계산하면 다음을 얻습니다.

   M(X) = 1,5

   D(X) = 1,25

   표준편차 σ(X)는 분산의 근과 같습니다.

   σ(X) = √D(X) ≒ 1.12

2. SV X의 분포함수 F(x)가 주어지며, 확률분포 밀도 f(x), 수학적 기대값 M(X), 분산 D(X) 및 SV X가 하락할 확률을 구하는 것이 필요합니다. 세그먼트에서 [a; 비]. 함수 F(x)와 f(x)의 그래프를 그립니다.

   분포 함수 F(x) CB X를 다음 공식으로 지정합니다.

   F(x) = 1 - e^-λx, x ≥ 0

   여기서 λ > 0은 분포 모수입니다.

   SV X에 대한 확률 분포 밀도 f(x)는 분포 함수의 미분으로 계산됩니다.

   f(x) = F'(x) = λe^-λx, x ≥ 0

   기대 M(X

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이 IDZ에서는 확률 이론과 수학적 통계의 문제를 조사합니다. 특히, 풀이책에는 이산확률변수의 분포법칙, 분포함수, 확률분포밀도, 수학적 기대, 분산 및 표준편차를 찾는 문제에 대한 솔루션이 포함되어 있습니다. 특정 세그먼트에 확률변수가 포함될 확률을 찾고, 제조된 제품의 품질을 평가하는 문제도 고려됩니다.

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Ryabushko의 솔버는 수학, 확률 및 통계 분야에서 해결된 문제 모음입니다. 이 경우 여러 과제가 포함된 개별 숙제(IH) 18.2, 옵션 1이 해결되었습니다.

첫 번째 작업은 신호등이 4개 있는 거리의 자동차 정류장 수인 이산 확률 변수 X의 분포 법칙과 확률 분포 함수를 찾는 것입니다. 또한 확률 변수 X의 수학적 기대치, 분산, 표준 편차를 계산하고 분포 함수 F(x)를 그리는 것도 필요합니다.

두 번째 작업은 확률 분포 밀도 f(x), 확률 변수 X의 수학적 기대값과 분산, SV X가 세그먼트 [a; 비]. 또한 분포 함수 F(x)와 분포 밀도 f(x)를 도표화하는 것이 필요합니다.

세 번째 작업은 주어진 표준 편차에서 기계가 생산하는 표준 롤러의 수를 결정하고 설계 크기에서 롤러 직경의 편차에 대한 수학적 기대치를 결정하는 것과 관련됩니다.

네 번째 작업은 공장 생산에서 2500개의 제품을 샘플링할 때 불량 제품의 비율이 주어진 절대 오차를 초과하지 않을 확률을 결정하는 것입니다.

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