Reshebnik Ryabushko. Risolto IDZ 18.2, Opzione 1

DescrizioNe

VeNgono assegnati i seguenti compiti:

1. Trova la legge di distribuzione della SV discreta X e la sua funzione di distribuzione F(X). Calcolare l'aspettativa matematica M(X), la varianza D(X) e la deviazione standard σ(X). Traccia la funzione di distribuzione F(X).

   1.1. Un'auto deve percorrere una strada che ha quattro semafori che funzionano in modo indipendente. Ogni semaforo emette segnali rossi e verdi ad intervalli di 2 minuti; CB X è il numero di fermate delle auto su questa strada.

2. È data la funzione di distribuzione F(x) della SV X. Trovare la densità di distribuzione di probabilità f(x), l'aspettativa matematica M(X), la dispersione D(X) e la probabilità che la SV X cada sul segmento [ UN; B]. Disegna i grafici delle funzioni F(x) ef(x).

3. Risolvi i seguenti problemi:

   3.1. Un rullo realizzato con una macchina automatica è considerato standard se la deviazione del suo diametro dalla dimensione di progetto non supera i 2 mm. Le deviazioni casuali dei diametri dei rulli obbediscono alla legge normale con una deviazione standard di 1,6 mm e un'aspettativa matematica pari a 0. Quanti rulli standard (in percentuale) produce la macchina?

4. Risolvi i seguenti problemi:

   4.1. Per determinare la qualità dei prodotti realizzati dallo stabilimento, sono stati selezionati a caso 2.500 prodotti. Tra questi ce n'erano 50 con difetti. La frequenza di produzione di prodotti difettosi viene considerata come un valore approssimativo della probabilità di produzione di un prodotto difettoso. Determinare con quale probabilità è possibile garantire che l'errore assoluto consentito non superi 0,02.

Risposta

1. Per risolvere il problema, è necessario determinare la legge di distribuzione e la funzione di distribuzione del discreto SV X. Conoscendo la funzione di distribuzione, è possibile trovare la densità di distribuzione di probabilità, quindi l'aspettativa matematica, la dispersione e la deviazione standard. Traccia la funzione di distribuzione F(x).

   Per CB X useremo la seguente notazione: X è il numero di auto ferme sulla strada. Ogni semaforo emette segnali rossi e verdi ad intervalli di 2 minuti, quindi CB X assume valori da 0 a 4 compresi. I valori di SV X e le loro probabilità sono riportati nella tabella:

   X	0	1	2	3	4
   P(X)	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

   Qui P(X) è la probabilità che SV X assuma il valore corrispondente.

   La funzione di distribuzione F(x) per una SV X discreta è definita come la somma delle probabilità dei valori di SV X inferiori o uguali a x:

   F(x) = P(X ≤ x)

   Tracciamo la funzione di distribuzione F(x):

   Troviamo la densità della distribuzione di probabilità f(x). Per fare ciò utilizziamo la formula:

   f(x) = P(X = x)

   Tabella dei valori f(x) per SV X:

   X	0	1	2	3	4
   f(x)	0,0625	0,1875	0,125	0,1875	0,0625

   L'aspettativa matematica M(X) e la varianza D(X) per una SV X discreta vengono calcolate utilizzando le formule:

   M(X) = S_io=1ⁿ x_i P(X = x_i)

   D(X) = S_io=1ⁿ (x_i -M(X))² P(X = x_i)

   Calcolando utilizzando queste formule, otteniamo:

   M(X) = 1,5

   D(X) = 1,25

   La deviazione standard σ(X) è uguale alla radice della varianza:

   σ(X) = √D(X) ≈ 1,12

2. Data la funzione di distribuzione F(x) della SV X. È necessario trovare la densità di distribuzione di probabilità f(x), l'aspettativa matematica M(X), la dispersione D(X) e la probabilità che la SV X cada sul segmento [a; B]. Disegna i grafici delle funzioni F(x) ef(x).

   Sia la funzione di distribuzione F(x) CB X data dalla seguente formula:

   F(x) = 1 - e^-λx, x ≥ 0

   dove λ > 0 è il parametro della distribuzione.

   La densità di distribuzione di probabilità f(x) per SV X viene calcolata come derivata della funzione di distribuzione:

   f(x) = F'(x) = λe^-λx, x ≥ 0

   Aspettativa M(X

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Questo IDZ esamina i problemi nella teoria della probabilità e nella statistica matematica. In particolare, il libro delle soluzioni contiene soluzioni ai problemi relativi alla ricerca della legge di distribuzione di una variabile casuale discreta, della sua funzione di distribuzione, della densità di distribuzione di probabilità, dell'aspettativa matematica, della dispersione e della deviazione standard. Vengono inoltre considerati i problemi relativi alla determinazione della probabilità che una variabile casuale cada su un determinato segmento e alla valutazione della qualità dei prodotti fabbricati.

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Il risolutore di Ryabushko è una raccolta di problemi risolti di matematica, probabilità e statistica. In questo caso, i Compiti Individuali (IH) 18.2, Opzione 1, che comprendono diversi compiti, sono stati risolti.

Il primo compito è trovare la legge di distribuzione e la funzione di distribuzione della probabilità di una variabile casuale discreta X, che è il numero di auto ferme in una strada con quattro semafori. È inoltre necessario calcolare l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale X, nonché tracciare la funzione di distribuzione F(x).

Il secondo compito è trovare la densità della distribuzione di probabilità f(x), l'aspettativa matematica e la dispersione della variabile casuale X, nonché la probabilità che SV X cada sul segmento [a; B]. È inoltre necessario tracciare la funzione di distribuzione F(x) e la densità di distribuzione f(x).

Il terzo compito è legato alla determinazione del numero di rulli standard prodotti dalla macchina ad una determinata deviazione standard e all'aspettativa matematica della deviazione del diametro del rullo dalla dimensione di progetto.

Il quarto compito è determinare la probabilità che, campionando 2500 prodotti dalla produzione dell'impianto, la percentuale di prodotti difettosi non superi un dato errore assoluto.

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