IDZ Ryabushko 4.2 Opção 13

Nº 1. É necessário construir superfícies e determinar seu tipo:

a) -16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0;

b) 6x2 + y2 - 3z2 = 0.

Para resolver o problema, é necessário trazer as equações das superfícies à forma canônica.

Para a superfície a) temos:

-16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0

Vamos mover o termo livre para o lado direito da equação:

-16x2 + y2 + 4z2 = 32

Divida ambos os lados da equação por 32:

-0,5x2 + 0,125y2 + 0,25z2 = 1

Assim, a equação de superfície tem a forma canônica:

x^2/(-2) + y^2/8 + z^2/4 = 1

A superfície resultante é um elipsóide.

Para a superfície b) temos:

6x2 + y2 - 3z2 = 0

Vamos mover o termo livre para o lado direito da equação:

6x2 + y2 = 3z2

Divida ambos os lados da equação por 3:

2x2 + y2/3 = z2

Assim, a equação de superfície tem a forma canônica:

z ^ 2 = 2x ^ 2 + (y ^ 2/3)

A superfície resultante é um parabolóide hiperbólico.

Nº 2. É necessário anotar a equação e determinar o tipo de superfície obtida girando esta linha em torno do eixo de coordenadas especificado, e fazer um desenho:

a) z2 = 2y; Sim;

Esta linha é uma parábola limitada no plano yz. Quando esta parábola gira em torno do eixo Oy, obtemos uma superfície de rotação - um cilindro parabólico. A equação de superfície pode ser obtida substituindo a parábola y na equação por √(z/2):

z^2/2 = 2y

z^2/2 = 2√(z/2)

z^2 = 8z

Assim, a equação de superfície tem a forma canônica:

z^2 - 8z = 0

ou

z(z - 8) = 0

A superfície resultante é um cilindro parabólico cujo eixo é o eixo Oy.

b) 2x2 + 3z2 = 6; Onça.

Esta linha é uma elipse limitada no plano xz. Quando esta elipse gira em torno do eixo Oz, obtemos uma superfície de rotação - um parabolóide elíptico. A equação da superfície pode ser obtida substituindo z na equação da elipse por √((6-2x^2)/3):

2x^2 + 3z^2 = 6

2x^2 + 3(6-2x^2)/3 = 6

2x ^ 2 + 6 - 2x ^ 2 = 6

Assim, a equação de superfície tem a forma canônica:

y = 6 - 2x ^ 2

A superfície resultante é um parabolóide cujo eixo é o eixo Oz.

N ° 3. É necessário construir um corpo limitado pelas superfícies especificadas:

a) y = x; x = 2; y = 0; z = 0;

Primeiro, vamos representar graficamente a superfície y = x no espaço tridimensional. Para fazer isso, observe que se trata de uma reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 2). Então construímos planos x = 2, y = 0 e z = 0, que interceptam esta linha em determinados pontos. Os planos resultantes formam um paralelepípedo, que é o corpo desejado.

b) x + y = 2; ...; z = 2x; z = 0.

Primeiro, vamos representar graficamente a superfície x + y = 2 no espaço tridimensional. Para fazer isso, observe que este é um plano que passa pelos pontos (2, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2). Então construímos os planos z = 2x e z = 0, que interceptam este plano em determinados pontos. As superfícies resultantes formam uma pirâmide de base triangular, que é o corpo desejado.

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