IDZ リャブシュコ 4.2 オプション 13

1番。サーフェスを構築し、そのタイプを決定する必要があります。

a) -16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0;

б) 6x2 + y2 - 3z2 = 0。

この問題を解決するには、曲面の方程式を正準形式にする必要があります。

表面 a) については次のようになります。

-16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0

自由項を方程式の右側に移動してみましょう。

-16x2 + y2 + 4z2 = 32

方程式の両辺を 32 で割ります。

-0.5x2 + 0.125y2 + 0.25z2 = 1

したがって、表面方程式は次の標準形式になります。

x^2/(-2) + y^2/8 + z^2/4 = 1

結果として得られる表面は楕円体です。

表面 b) については次のようになります。

6x2 + y2 - 3z2 = 0

自由項を方程式の右側に移動してみましょう。

6x2 + y2 = 3z2

方程式の両辺を 3 で割ります。

2x2 + y2/3 = z2

したがって、表面方程式は次の標準形式になります。

z^2 = 2x^2 + (y^2/3)

結果として得られる表面は双曲放物面になります。

2番。方程式を書き留め、指定された座標軸の周りでこの線を回転することによって得られる表面のタイプを決定し、描画する必要があります。

а) z2 = 2y;はい;

この線は、yz 平面内で境界を定められた放物線です。この放物線が Oy 軸の周りを回転すると、回転面、つまり放物線円柱が得られます。表面方程式は、方程式内の放物線 y を √(z/2) に置き換えることで取得できます。

z^2/2 = 2y

z^2/2 = 2√(z/2)

z^2 = 8z

したがって、表面方程式は次の標準形式になります。

z^2 - 8z = 0

または

z(z - 8) = 0

結果として得られるサーフェスは、軸が Oy 軸である放物線状の円柱になります。

б) 2x2 + 3z2 = 6;オズ。

この線は、xz 平面で囲まれた楕円です。この楕円がオズ軸の周りを回転すると、回転面、つまり楕円放物面が得られます。表面方程式は、楕円方程式の z を √((6-2x^2)/3) に置き換えることで取得できます。

2x^2 + 3z^2 = 6

2x^2 + 3(6-2x^2)/3 = 6

2x^2 + 6 - 2x^2 = 6

したがって、表面方程式は次の標準形式になります。

y = 6 - 2x^2

結果として得られる表面は、軸が Oz 軸である放物面です。

3番。指定されたサーフェスによって境界付けられるボディを構築する必要があります。

a) y = x; x = 2; y = 0; z = 0;

まず、表面 y = x を 3 次元空間にプロットしましょう。これを行うには、これが原点と点 (2, 2) を通過する直線であることに注意してください。次に、指定された点でこの線と交差する平面 x = 2、y = 0、および z = 0 を構築します。結果として得られる平面は、目的の物体である平行六面体を形成します。

б) x + y = 2; ...; z = 2x; z = 0。

まず、表面 x + y = 2 を 3 次元空間にプロットしてみましょう。これを行うには、これが点 (2, 0, 0)、(0, 2, 0)、および (0, 0, 2) を通過する平面であることに注意してください。次に、指定された点でこの平面と交差する平面 z = 2x および z = 0 を構築します。結果として得られるサーフェスは、目的の本体である三角形の底面を持つピラミッドを形成します。

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