IDZ Ryabushko 4.2 Option 13

Nr. 1. Es ist notwendig, Oberflächen zu konstruieren und ihren Typ zu bestimmen:

a) -16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0;

á) 6x2 + y2 - 3z2 = 0.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Flächengleichungen in eine kanonische Form zu bringen.

Für die Fläche a) gilt:

-16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0

Verschieben wir den freien Term auf die rechte Seite der Gleichung:

-16x2 + y2 + 4z2 = 32

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 32:

-0,5x2 + 0,125y2 + 0,25z2 = 1

Somit hat die Oberflächengleichung die kanonische Form:

x^2/(-2) + y^2/8 + z^2/4 = 1

Die resultierende Oberfläche ist ein Ellipsoid.

Für Fläche b) gilt:

6x2 + y2 - 3z2 = 0

Verschieben wir den freien Term auf die rechte Seite der Gleichung:

6x2 + y2 = 3z2

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3:

2x2 + y2/3 = z2

Somit hat die Oberflächengleichung die kanonische Form:

z^2 = 2x^2 + (y^2/3)

Die resultierende Oberfläche ist ein hyperbolisches Paraboloid.

Nr. 2. Es ist notwendig, die Gleichung aufzuschreiben und die Art der Oberfläche zu bestimmen, die man durch Drehen dieser Linie um die angegebene Koordinatenachse erhält, und eine Zeichnung anzufertigen:

a) z2 = 2y; Ja;

Diese Linie ist eine Parabel, die in der yz-Ebene begrenzt ist. Wenn sich diese Parabel um die Oy-Achse dreht, erhalten wir eine Rotationsfläche – einen parabolischen Zylinder. Die Oberflächengleichung kann erhalten werden, indem die Parabel y in der Gleichung durch √(z/2) ersetzt wird:

z^2/2 = 2y

z^2/2 = 2√(z/2)

z^2 = 8z

Somit hat die Oberflächengleichung die kanonische Form:

z^2 - 8z = 0

oder

z(z - 8) = 0

Die resultierende Oberfläche ist ein parabolischer Zylinder, dessen Achse die Oy-Achse ist.

á) 2x2 + 3z2 = 6; Oz.

Diese Linie ist eine in der xz-Ebene begrenzte Ellipse. Wenn sich diese Ellipse um die Oz-Achse dreht, erhalten wir eine Rotationsfläche – ein elliptisches Paraboloid. Die Oberflächengleichung kann erhalten werden, indem z in der Ellipsengleichung durch √((6-2x^2)/3) ersetzt wird:

2x^2 + 3z^2 = 6

2x^2 + 3(6-2x^2)/3 = 6

2x^2 + 6 - 2x^2 = 6

Somit hat die Oberflächengleichung die kanonische Form:

y = 6 - 2x^2

Die resultierende Oberfläche ist ein Paraboloid, dessen Achse die Oz-Achse ist.

Nr. 3. Es ist notwendig, einen Körper zu konstruieren, der durch die angegebenen Flächen begrenzt wird:

a) y = x; x = 2; y = 0; z = 0;

Zeichnen wir zunächst die Fläche y = x im dreidimensionalen Raum. Beachten Sie dazu, dass es sich hierbei um eine Gerade handelt, die durch den Ursprung und Punkt (2, 2) verläuft. Dann konstruieren wir Ebenen x = 2, y = 0 und z = 0, die diese Linie an gegebenen Punkten schneiden. Die resultierenden Ebenen bilden ein Parallelepiped, das den gewünschten Körper darstellt.

á) x + y = 2; ... ; z = 2x; z = 0.

Lassen Sie uns zunächst die Oberfläche x + y = 2 im dreidimensionalen Raum darstellen. Beachten Sie dazu, dass es sich um eine Ebene handelt, die durch die Punkte (2, 0, 0), (0, 2, 0) und (0, 0, 2) verläuft. Dann konstruieren wir die Ebenen z = 2x und z = 0, die diese Ebene an gegebenen Punkten schneiden. Die resultierenden Flächen bilden eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die den gewünschten Körper darstellt.

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IDZ Ryabushko 4.2 Option 13 ist eine Reihe von Aufgaben in der mathematischen Geometrie, einschließlich der Konstruktion von Oberflächen und Körpern sowie dem Schreiben von Gleichungen und der Bestimmung ihres Typs. Die erste Aufgabe besteht darin, Oberflächen zu konstruieren und deren Aussehen zu bestimmen. In der zweiten Aufgabe müssen Sie eine Gleichung aufschreiben und die Art der Oberfläche bestimmen, die Sie durch Drehen einer bestimmten Linie um die angegebene Koordinatenachse erhalten, und diese zeichnen. Die dritte Aufgabe erfordert, dass Sie einen Körper konstruieren, der durch die angegebenen Flächen begrenzt wird, und deren Gleichungen angeben.

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