IDZ Ryabushko 4.2 Option 13

N°1. Il faut construire des surfaces et déterminer leur type :

une) -16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0 ;

b) 6x2 + y2 - 3z2 = 0.

Pour résoudre le problème, il est nécessaire de mettre les équations des surfaces sous forme canonique.

Pour la surface a) on a :

-16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0

Déplaçons le terme libre vers la droite de l'équation :

-16x2 + y2 + 4z2 = 32

Divisez les deux côtés de l'équation par 32 :

-0,5x2 + 0,125y2 + 0,25z2 = 1

Ainsi, l'équation de surface a la forme canonique :

x^2/(-2) + y^2/8 + z^2/4 = 1

La surface résultante est un ellipsoïde.

Pour la surface b) on a :

6x2 + y2 - 3z2 = 0

Déplaçons le terme libre vers la droite de l'équation :

6x2 + y2 = 3z2

Divisez les deux côtés de l'équation par 3 :

2x2 + y2/3 = z2

Ainsi, l'équation de surface a la forme canonique :

z^2 = 2x^2 + (y^2/3)

La surface résultante est un paraboloïde hyperbolique.

N°2. Il est nécessaire d'écrire l'équation et de déterminer le type de surface obtenue en faisant tourner cette ligne autour de l'axe de coordonnées spécifié, et de faire un dessin :

a) z2 = 2y ; Oui;

Cette droite est une parabole délimitée dans le plan yz. Lorsque cette parabole tourne autour de l’axe Oy, on obtient une surface de rotation – un cylindre parabolique. L'équation de surface peut être obtenue en remplaçant la parabole y dans l'équation par √(z/2) :

z ^ 2/2 = 2 ans

z^2/2 = 2√(z/2)

z^2 = 8z

Ainsi, l'équation de surface a la forme canonique :

z ^ 2 - 8z = 0

ou

z(z - 8) = 0

La surface résultante est un cylindre parabolique dont l'axe est l'axe Oy.

b) 2x2 + 3z2 = 6 ; Oz.

Cette droite est une ellipse délimitée dans le plan xz. Lorsque cette ellipse tourne autour de l’axe Oz, nous obtenons une surface de révolution – un paraboloïde elliptique. L'équation de surface peut être obtenue en remplaçant z dans l'équation de l'ellipse par √((6-2x^2)/3) :

2x^2 + 3z^2 = 6

2x^2 + 3(6-2x^2)/3 = 6

2x^2 + 6 - 2x^2 = 6

Ainsi, l'équation de surface a la forme canonique :

y = 6 - 2x^2

La surface résultante est un paraboloïde dont l’axe est l’axe Oz.

N ° 3. Il est nécessaire de construire un corps délimité par les surfaces spécifiées :

une) y = x ; x = 2 ; y = 0 ; z = 0 ;

Tout d’abord, traçons la surface y = x dans un espace tridimensionnel. Pour ce faire, notez qu'il s'agit d'une droite passant par l'origine et le point (2, 2). Ensuite, nous construisons des plans x = 2, y = 0 et z = 0, qui coupent cette ligne en des points donnés. Les plans résultants forment un parallélépipède, qui est le corps souhaité.

b) x + y = 2 ; ... ; z = 2x; z = 0.

Tout d’abord, traçons la surface x + y = 2 dans un espace tridimensionnel. Pour ce faire, notez qu'il s'agit d'un plan passant par les points (2, 0, 0), (0, 2, 0) et (0, 0, 2). Ensuite, nous construisons les plans z = 2x et z = 0, qui coupent ce plan en des points donnés. Les surfaces résultantes forment une pyramide à base triangulaire, qui est le corps souhaité.

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