IDZ Ryabushko 4.2 Opción 13

N° 1. Es necesario construir superficies y determinar su tipo:

a) -16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0;

b) 6x2 + y2 - 3z2 = 0.

Para resolver el problema, es necesario llevar las ecuaciones de superficies a forma canónica.

Para la superficie a) tenemos:

-16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0

Movamos el término libre al lado derecho de la ecuación:

-16x2 + y2 + 4z2 = 32

Divide ambos lados de la ecuación por 32:

-0,5x2 + 0,125y2 + 0,25z2 = 1

Por tanto, la ecuación de superficie tiene la forma canónica:

x^2/(-2) + y^2/8 + z^2/4 = 1

La superficie resultante es un elipsoide.

Para la superficie b) tenemos:

6x2 + y2 - 3z2 = 0

Movamos el término libre al lado derecho de la ecuación:

6x2 + y2 = 3z2

Divide ambos lados de la ecuación por 3:

2x2 + y2/3 = z2

Por tanto, la ecuación de superficie tiene la forma canónica:

z^2 = 2x^2 + (y^2/3)

La superficie resultante es un paraboloide hiperbólico.

No. 2. Es necesario escribir la ecuación y determinar el tipo de superficie obtenida al girar esta línea alrededor del eje de coordenadas especificado y hacer un dibujo:

a) z2 = 2y; Sí;

Esta recta es una parábola acotada en el plano yz. Cuando esta parábola gira alrededor del eje Oy, obtenemos una superficie de rotación: un cilindro parabólico. La ecuación de superficie se puede obtener reemplazando la parábola y en la ecuación con √(z/2):

z^2/2 = 2y

z^2/2 = 2√(z/2)

z^2 = 8z

Por tanto, la ecuación de superficie tiene la forma canónica:

z^2 - 8z = 0

o

z(z - 8) = 0

La superficie resultante es un cilindro parabólico cuyo eje es el eje Oy.

b) 2x2 + 3z2 = 6; Onz.

Esta recta es una elipse limitada en el plano xz. Cuando esta elipse gira alrededor del eje Oz, obtenemos una superficie de revolución: un paraboloide elíptico. La ecuación de la superficie se puede obtener reemplazando z en la ecuación de la elipse con √((6-2x^2)/3):

2x^2 + 3z^2 = 6

2x^2 + 3(6-2x^2)/3 = 6

2x^2 + 6 - 2x^2 = 6

Por tanto, la ecuación de superficie tiene la forma canónica:

y = 6 - 2x^2

La superficie resultante es un paraboloide cuyo eje es el eje de Oz.

Numero 3. Es necesario construir un cuerpo delimitado por las superficies especificadas:

а) y = x; x = 2; y = 0; z = 0;

Primero, tracemos la superficie y = x en un espacio tridimensional. Para ello, tenga en cuenta que se trata de una línea recta que pasa por el origen y el punto (2, 2). Luego construimos planos x = 2, y = 0 y z = 0, que cortan esta línea en puntos dados. Los planos resultantes forman un paralelepípedo, que es el cuerpo deseado.

b) x + y = 2; ... ; z = 2x; z = 0.

Primero, tracemos la superficie x + y = 2 en un espacio tridimensional. Para ello, tenga en cuenta que se trata de un plano que pasa por los puntos (2, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 2). Luego construimos los planos z = 2x y z = 0, que cortan este plano en puntos dados. Las superficies resultantes forman una pirámide con base triangular, que es el cuerpo deseado.

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