IDZ Ryabushko 4.2 Opzione 13

N. 1. È necessario costruire superfici e determinarne il tipo:

a) -16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0;

á) 6x2 + y2 - 3z2 = 0.

Per risolvere il problema è necessario riportare le equazioni delle superfici in forma canonica.

Per la superficie a) abbiamo:

-16x2 + y2 + 4z2 - 32 = 0

Spostiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione:

-16x2 + y2 + 4z2 = 32

Dividi entrambi i membri dell'equazione per 32:

-0,5x2 + 0,125y2 + 0,25z2 = 1

Pertanto, l’equazione della superficie ha la forma canonica:

x^2/(-2) + y^2/8 + z^2/4 = 1

La superficie risultante è un ellissoide.

Per la superficie b) abbiamo:

6x2 + y2 - 3z2 = 0

Spostiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione:

6x2 + y2 = 3z2

Dividi entrambi i membri dell'equazione per 3:

2x2 + y2/3 = z2

Pertanto, l’equazione della superficie ha la forma canonica:

z^2 = 2x^2 + (y^2/3)

La superficie risultante è un paraboloide iperbolico.

N. 2. È necessario scrivere l'equazione e determinare il tipo di superficie ottenuta ruotando questa linea attorno all'asse delle coordinate specificato e realizzare un disegno:

à) z2 = 2y; SÌ;

Questa retta è una parabola limitata nel piano yz. Quando questa parabola ruota attorno all'asse Oy, otteniamo una superficie di rotazione: un cilindro parabolico. L'equazione della superficie può essere ottenuta sostituendo la parabola y nell'equazione con √(z/2):

z^2/2 = 2y

z^2/2 = 2√(z/2)

z^2 = 8z

Pertanto, l’equazione della superficie ha la forma canonica:

z^2 - 8z = 0

O

z(z-8) = 0

La superficie risultante è un cilindro parabolico il cui asse è l'asse Oy.

á) 2x2 + 3z2 = 6; Oz.

Questa linea è un'ellisse delimitata nel piano xz. Quando questa ellisse ruota attorno all'asse Oz, otteniamo una superficie di rivoluzione: un paraboloide ellittico. L'equazione della superficie può essere ottenuta sostituendo z nell'equazione dell'ellisse con √((6-2x^2)/3):

2x^2 + 3z^2 = 6

2x^2 + 3(6-2x^2)/3 = 6

2x^2 + 6 - 2x^2 = 6

Pertanto, l’equazione della superficie ha la forma canonica:

y = 6 - 2x^2

La superficie risultante è un paraboloide il cui asse è l'asse Oz.

Numero 3. È necessario costruire un corpo delimitato dalle superfici specificate:

a) y = x; x = 2; y = 0; z = 0;

Innanzitutto, tracciamo la superficie y = x nello spazio tridimensionale. Per fare ciò, nota che questa è una linea retta che passa per l'origine e il punto (2, 2). Quindi costruiamo i piani x = 2, y = 0 e z = 0, che intersecano questa linea in determinati punti. I piani risultanti formano un parallelepipedo, che è il corpo desiderato.

á) x + y = 2; ...; z = 2x; z = 0.

Innanzitutto, tracciamo la superficie x + y = 2 nello spazio tridimensionale. Per fare ciò, nota che questo è un piano che passa per i punti (2, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2). Quindi costruiamo i piani z = 2x ez = 0, che intersecano questo piano in determinati punti. Le superfici risultanti formano una piramide a base triangolare, che è il corpo desiderato.

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