IDZ Ryabushko 3.1 Opção 23

Não 1 Dados quatro pontos A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). É necessário criar equações:

a) Planos A1A2A3: Para criar a equação de um plano que passa por três pontos A1, A2 e A3, é necessário encontrar o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A3 e escrevê-lo na forma de uma equação do plano: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) Equação plana: 6x + 30y + 6z - 60 = 0

b) Reta A1A2: Para criar a equação de uma reta que passa por dois pontos A1 e A2, é necessário encontrar o vetor diretor da reta e escrevê-lo na forma de uma equação de uma reta: A1A2 = (5 -2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) Equação da linha: x = 2 + 3t y = 3 z = -7 - 12t

c) Reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3: Para criar uma equação para uma reta que passa por dois pontos A4 e M e perpendicular ao plano A1A2A3, é necessário encontrar o produto vetorial dos vetores paralelos a este plano e escrevê-lo na forma de um vetor direcionador da linha: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5 ) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) A4M = (4-4, 2+3, 0-1) = (0, 5, -1) Equação de linha : x = 4 y = 2 + 5t z = 1 - t

d) Reta A3N paralela à reta A1A2: Para criar uma equação para uma reta que passa por dois pontos A3 e N e paralela à reta A1A2, é necessário utilizar o vetor direção desta reta, que coincide com o vetor direção de linha A1A2: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A3N = (x-1, y-2, z-7) Equação da linha: x = 2 + 3t y = 2 z = -7 - 12t

e) Um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2: Para criar uma equação para um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2, é necessário utilizar o vetor diretor desta reta, que coincide com a direção vetor da reta A1A2: A1A4 = (4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) O vetor normal do plano será perpendicular ao vetor de direção da reta A1A4, então nós encontre-o através do produto vetorial do vetor de direção da reta A1A2 e do vetor de direção da reta A1A4: n = A1A2 x A1A4 = (33, -18, -3) Equação do plano: 33x - 18y - 3z + 27 = 0

e) Seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3: Para encontrar o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3, é necessário encontrar a projeção do vetor diretor da reta A1A4 no vetor normal do plano A1A2A3 e divida pelo comprimento do vetor de direção da linha A1A4: A1A4 = (4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30 , 6) sin(ângulo) = |proj(A1A4,n)| / |A1A4| |proj(A1A4,n)| = |A1A4| * pecado(ângulo) = |A1A4| * |n| * pecado(ângulo) / |A1A4| = |n| * pecado(ângulo) |n| * sin(ângulo) = |A1A4 x n| = |(-174, 12, 42)| = 629 |n| = quadrado (6 ^ 2 + 30 ^ 2 + 6 ^ 2) = 6sqrt(11) sin(ângulo) = (629) / (6quadrado(11)*sqrt(30)) = 29 / (sqrt(11)5quadrado(2)) Resposta: sin(ângulo) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2))

g) Cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3: Para encontrar o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3, é necessário encontrar o produto escalar dos vetores normais desses planos e divida-o pelo produto de seus comprimentos: Vetor normal do plano coordenado Oxy: n1 = (0, 0, 1) Vetor normal do plano A1A2A3: n2 = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) cos(ângulo ) = n1n2/(|n1||n2|) |n1| = quadrado(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 |n2| = quadrado (6 ^ 2 + 30 ^ 2 + 6 ^ 2) = 6quadrado(11)n1n2 = 6 cos(ângulo) = 6 / (16sqrt(11)) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2)) Resposta: cos(ângulo) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2))

Nº 2 É necessário encontrar a projeção do ponto M(4;-3;1) no plano x - 2y - z - 15 = 0.

A projeção de um ponto em um plano é igual à sua projeção ortogonal neste plano. Como o plano é dado pela equação, podemos encontrar o vetor normal do plano e a direção

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IDZ Ryabushko 3.1 Opção 23 é um conjunto de problemas de matemática ou geometria, que inclui várias tarefas de composição de equações de planos e retas, bem como cálculo de ângulos entre eles e localização de projeções de pontos em um plano. Em particular, este conjunto de tarefas contém as seguintes tarefas:

1. Dados quatro pontos A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). É necessário criar equações: a) plano A1A2A3; b) reta A1A2; c) reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3; d) reta A3N paralela à reta A1A2; e) um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2. Você também precisa calcular: f) seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

2. É necessário encontrar a projeção do ponto M(4;–3;1) no plano x – 2y – z – 15 = 0.

3. É necessário criar uma equação para um plano que passa pelo ponto K(2;–5;3) e paralelo ao plano Oxz.

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