IDZ Ryabushko 3.1 Option 23

N° 1 Étant donné quatre points A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Il faut créer des équations :

a) Plans A1A2A3 : Afin de créer une équation d'un plan passant par trois points A1, A2 et A3, il faut trouver le produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A1A3 et l'écrire sous la forme d'une équation du plan : A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) Équation du plan : 6x + 30y + 6z - 60 = 0

b) Droite A1A2 : Afin de créer une équation d'une droite passant par deux points A1 et A2, il faut trouver le vecteur direction de la droite et l'écrire sous la forme d'une équation de droite : A1A2 = (5 -2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) Équation linéaire : x = 2 + 3t y = 3 z = -7 - 12t

c) Droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3 : Afin de créer une équation pour une droite passant par deux points A4 et M et perpendiculaire au plan A1A2A3, il faut trouver le produit vectoriel des vecteurs parallèles à ce plan et l'écrire sous la forme d'un vecteur directeur de la droite : A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5 ) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) A4M = (4-4, 2+3, 0-1) = (0, 5, -1) Équation linéaire : x = 4 y = 2 + 5t z = 1 - t

d) Ligne A3N parallèle à la ligne A1A2 : Afin de créer une équation pour une ligne passant par deux points A3 et N et parallèle à la ligne A1A2, il est nécessaire d'utiliser le vecteur direction de cette ligne, qui coïncide avec le vecteur direction de droite A1A2 : A1A2 = (5-2 , 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A3N = (x-1, y-2, z-7) Équation de droite : x = 2 + 3t y = 2 z = -7 - 12t

e) Un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 : Afin de créer une équation pour un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2, il faut utiliser le vecteur direction de cette droite, qui coïncide avec la direction vecteur de la droite A1A2 : A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) Le vecteur normal du plan sera perpendiculaire au vecteur directeur de la droite A1A4, donc on trouvez-le grâce au produit vectoriel du vecteur direction de la droite A1A2 et du vecteur direction de la droite A1A4 : n = A1A2 x A1A4 = (33, -18, -3) Équation du plan : 33x - 18y - 3z + 27 = 0

f) Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 : Pour trouver le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3, il faut trouver la projection du vecteur direction de la droite A1A4 sur le vecteur normal du plan A1A2A3 et divisez-le par la longueur du vecteur directeur de la droite A1A4 : A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30 , 6) sin(angle) = |proj(A1A4,n)| / |A1A4| |proj(A1A4,n)| = |A1A4| * péché(angle) = |A1A4| * |n| * péché(angle) / |A1A4| = |n| * péché(angle) |n| * péché(angle) = |A1A4 x n| = |(-174, 12, 42)| = 629 |n| = carré (6 ^ 2 + 30 ^ 2 + 6 ^ 2) = 6sqrt(11) péché(angle) = (629) / (6carré(11)*carré(30)) = 29 / (carré(11)5sqrt(2)) Réponse : sin(angle) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2))

g) Cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 : Afin de trouver le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3, il faut trouver le produit scalaire des vecteurs normaux de ces plans et divisez-le par le produit de leurs longueurs : Vecteur normal du plan de coordonnées Oxy : n1 = (0, 0, 1) Vecteur normal du plan A1A2A3 : n2 = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) cos(angle ) = n1n2 / (|n1||n2|) |n1| = carré(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 |n2| = carré (6 ^ 2 + 30 ^ 2 + 6 ^ 2) = 6sqrt(11) n1n2 = 6 cos(angle) = 6 / (16sqrt(11)) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2)) Réponse : cos(angle) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2))

N°2 Il faut trouver la projection du point M(4;-3;1) sur le plan x - 2y - z - 15 = 0.

La projection d'un point sur un plan est égale à sa projection orthogonale sur ce plan. Puisque le plan est donné par l’équation, on peut trouver le vecteur normal du plan et la direction

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 23 est un ensemble de problèmes de mathématiques ou de géométrie, qui comprend diverses tâches de composition d'équations de plans et de lignes, ainsi que le calcul des angles entre eux et la recherche de projections de points sur un plan. En particulier, cet ensemble de tâches contient les tâches suivantes :

1. Étant donné quatre points A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Il faut créer des équations : a) avion A1A2A3 ; b) droit A1A2 ; c) la droite A4M, perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) la droite A3N parallèle à la droite A1A2 ; e) un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2. Il faut également calculer : f) sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

2. Il faut trouver la projection du point M(4;–3;1) sur le plan x – 2y – z – 15 = 0.

3. Il faut créer une équation pour un plan passant par le point K(2;–5;3) et parallèle au plan Oxz.

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