IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 23

N. 1 Dati quattro punti A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). È necessario creare equazioni:

a) Piani A1A2A3: Per creare un'equazione di un piano che passa per tre punti A1, A2 e A3, è necessario trovare il prodotto vettoriale dei vettori A1A2 e A1A3 e scriverlo sotto forma di equazione del piano: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) Equazione del piano: 6x + 30y + 6z - 60 = 0

b) Linea A1A2: Per creare un'equazione di una retta passante per due punti A1 e A2, è necessario trovare il vettore direzione della retta e scriverlo sotto forma di equazione di una retta: A1A2 = (5 -2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) Equazione della linea: x = 2 + 3t y = 3 z = -7 - 12t

c) Linea A4M perpendicolare al piano A1A2A3: Per creare un'equazione per una linea passante per due punti A4 e M e perpendicolare al piano A1A2A3, è necessario trovare il prodotto vettoriale dei vettori paralleli a questo piano e scriverlo sotto forma di vettore direzionale della linea: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5 ) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) A4M = (4-4, 2+3, 0-1) = (0, 5, -1) Equazione della retta : x = 4 y = 2 + 5t z = 1 - t

d) Linea A3N parallela alla linea A1A2: Per creare un'equazione per una linea passante per due punti A3 e N e parallela alla linea A1A2, è necessario utilizzare il vettore di direzione di questa linea, che coincide con il vettore di direzione di linea A1A2: A1A2 = (5-2 , 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A3N = (x-1, y-2, z-7) Equazione della linea: x = 2 + 3t y = 2 z = -7 - 12t

e) Un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2: Per creare un'equazione per un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2, è necessario utilizzare il vettore di direzione di questa linea, che coincide con la direzione vettore della retta A1A2: A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) Il vettore normale del piano sarà perpendicolare al vettore direzione della retta A1A4, quindi avremo trovarlo tramite il prodotto vettoriale del vettore direzione della retta A1A2 e del vettore direzione della retta A1A4: n = A1A2 x A1A4 = (33, -18, -3) Equazione del piano: 33x - 18y - 3z + 27 = 0

f) Seno dell'angolo tra la linea A1A4 e il piano A1A2A3: Per trovare il seno dell'angolo tra la linea A1A4 e il piano A1A2A3 è necessario trovare la proiezione del vettore direzione della linea A1A4 sul vettore normale del piano A1A2A3 e dividerlo per la lunghezza del vettore direzione della linea A1A4: A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30 , 6) sin(angolo) = |proj(A1A4,n)| / |A1A4| |prog(A1A4,n)| = |A1A4| * sin(angolo) = |A1A4| * |n| * sin(angolo) / |A1A4| = |n| * sin(angolo) |n| * sin(angolo) = |A1A4 x n| = |(-174, 12, 42)| = 629 |n| = quadrato(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6sqrt(11) sin(angolo) = (629) / (6quadrato(11)*quadrato(30)) = 29 / (quadrato(11)5quadrato(2)) Risposta: sin(angolo) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2))

g) Coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3: Per trovare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3 è necessario trovare il prodotto scalare dei vettori normali di questi piani e dividerlo per il prodotto delle loro lunghezze: Vettore normale del piano coordinato Oxy: n1 = (0, 0, 1) Vettore normale del piano A1A2A3: n2 = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) cos(angolo ) = n1n2/(|n1||n2|) |n1| = quadrato(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 |n2| = quadrato(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6sqrt(11) n1n2 = 6 cos(angolo) = 6 / (16sqrt(11)) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2)) Risposta: cos(angolo) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2))

N. 2 Occorre trovare la proiezione del punto M(4;-3;1) sul piano x - 2y - z - 15 = 0.

La proiezione di un punto su un piano è uguale alla sua proiezione ortogonale su questo piano. Poiché il piano è dato dall'equazione, possiamo trovare il vettore normale del piano e la direzione

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IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 23 è un insieme di problemi di matematica o geometria, che include vari compiti sulla composizione di equazioni di piani e linee, nonché sul calcolo degli angoli tra loro e sulla ricerca di proiezioni di punti su un piano. In particolare, questo insieme di attività contiene le seguenti attività:

1. Dati quattro punti A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). È necessario creare equazioni: a) aereo A1A2A3; b) dritto A1A2; c) retta A4M, perpendicolare al piano A1A2A3; d) retta A3N parallela alla retta A1A2; e) un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2. Devi anche calcolare: f) seno dell'angolo compreso tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3; g) coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3.

2. Occorre trovare la proiezione del punto M(4;–3;1) sul piano x – 2y – z – 15 = 0.

3. È necessario creare un'equazione per un piano passante per il punto K(2;–5;3) e parallelo al piano Oxz.

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