IDZ Ryabushko 3.1 Option 23

Nr. 1 Gegeben sind vier Punkte A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Es müssen Gleichungen erstellt werden:

a) Ebenen A1A2A3: Um eine Gleichung einer Ebene zu erstellen, die durch drei Punkte A1, A2 und A3 verläuft, muss das Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3 ermittelt und in Form einer Ebenengleichung geschrieben werden: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) Ebenengleichung: 6x + 30y + 6z - 60 = 0

b) Gerade A1A2: Um eine Geradengleichung zu erstellen, die durch zwei Punkte A1 und A2 verläuft, muss der Richtungsvektor der Geraden ermittelt und in Form einer Geradengleichung geschrieben werden: A1A2 = (5 -2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) Liniengleichung: x = 2 + 3t y = 3 z = -7 - 12t

c) Gerade A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3: Um eine Gleichung für eine Gerade zu erstellen, die durch zwei Punkte A4 und M und senkrecht zur Ebene A1A2A3 verläuft, muss das Vektorprodukt von Vektoren parallel zu dieser Ebene ermittelt und geschrieben werden in Form eines Richtungsvektors der Geraden: A1A2 = (5-2, 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A1A3 = (1-2, 2-3, 7-5 ) = (-1, -1, 2) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) A4M = (4-4, 2+3, 0-1) = (0, 5, -1) Liniengleichung : x = 4 y = 2 + 5t z = 1 - t

d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2: Um eine Gleichung für eine Gerade zu erstellen, die durch zwei Punkte A3 und N und parallel zur Geraden A1A2 verläuft, muss der Richtungsvektor dieser Geraden verwendet werden, der mit dem Richtungsvektor von übereinstimmt Linie A1A2: A1A2 = (5-2 , 3-3, -7-5) = (3, 0, -12) A3N = (x-1, y-2, z-7) Liniengleichung: x = 2 + 3t y = 2 z = -7 - 12t

e) Eine Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft: Um eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, muss der Richtungsvektor dieser Linie verwendet werden, der mit der Richtung übereinstimmt Vektor der Geraden A1A2: A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) Der Normalenvektor der Ebene steht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden A1A4, also wir Finden Sie es durch das Vektorprodukt des Richtungsvektors der Geraden A1A2 und des Richtungsvektors der Geraden A1A4: n = A1A2 x A1A4 = (33, -18, -3) Ebenengleichung: 33x - 18y - 3z + 27 = 0

e) Sinus des Winkels zwischen der Linie A1A4 und der Ebene A1A2A3: Um den Sinus des Winkels zwischen der Linie A1A4 und der Ebene A1A2A3 zu ermitteln, muss die Projektion des Richtungsvektors der Linie A1A4 auf den Normalenvektor der Ebene ermittelt werden A1A2A3 und teile es durch die Länge des Richtungsvektors der Linie A1A4: A1A4 = ( 4-2, 2-3, 0-5) = (2, -1, -5) n = A1A2 x A1A3 = (6, 30 , 6) sin(Winkel) = |proj(A1A4,n)| / |A1A4| |proj(A1A4,n)| = |A1A4| * sin(Winkel) = |A1A4| * |n| * sin(Winkel) / |A1A4| = |n| * sin(Winkel) |n| * sin(Winkel) = |A1A4 x n| = |(-174, 12, 42)| = 629 |n| = sqrt(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6sqrt(11) sin(Winkel) = (629) / (6sqrt(11)*sqrt(30)) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2)) Antwort: sin(angle) = 29 / (sqrt(11)5sqrt(2))

g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3: Um den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 zu ermitteln, muss das Skalarprodukt der Normalenvektoren dieser Ebenen ermittelt werden und dividiere ihn durch das Produkt ihrer Längen: Normalenvektor der Koordinatenebene Oxy: n1 = (0, 0, 1) Normalenvektor der Ebene A1A2A3: n2 = A1A2 x A1A3 = (6, 30, 6) cos(Winkel ) = n1n2 / (|n1||n2|) |n1| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 |n2| = sqrt(6^2 + 30^2 + 6^2) = 6sqrt(11) n1n2 = 6 cos(Winkel) = 6 / (16sqrt(11)) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2)) Antwort: cos(angle) = 1 / (sqrt(11)*sqrt(2))

Nr. 2 Es ist notwendig, die Projektion des Punktes M(4;-3;1) auf die Ebene x - 2y - z - 15 = 0 zu finden.

Die Projektion eines Punktes auf eine Ebene ist gleich seiner orthogonalen Projektion auf diese Ebene. Da die Ebene durch die Gleichung gegeben ist, können wir den Normalenvektor der Ebene und die Richtung ermitteln

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 23 ist eine Reihe von Problemen in Mathematik oder Geometrie, die verschiedene Aufgaben zum Aufstellen von Gleichungen von Ebenen und Linien sowie zum Berechnen von Winkeln zwischen ihnen und zum Finden von Projektionen von Punkten auf einer Ebene umfassen. Dieses Aufgabenpaket umfasst insbesondere folgende Aufgaben:

1. Gegeben sind vier Punkte A1(2;3;5); A2(5;3;–7); A3(1;2;7); A4(4;2;0). Es müssen Gleichungen erstellt werden: a) Ebene A1A2A3; b) gerade A1A2; c) Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2; e) eine Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft. Sie müssen außerdem Folgendes berechnen: f) Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

2. Es ist notwendig, die Projektion des Punktes M(4;–3;1) auf die Ebene x – 2y – z – 15 = 0 zu finden.

3. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch den Punkt K(2;–5;3) verläuft und parallel zur Oxz-Ebene verläuft.

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